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沙漏在流动过程中视重随时间变化的问题分析

2020-08-06 1299 上传者：管理员

摘要：研究沙漏在流动过程中视重随时间变化的问题.理论方面,从动量角度入手分析,得出视重变化量正比于动量柱(颗粒流动的区域)纵向长度的变化率,比例系数为质量流量,所得物理图像清晰,并且给出了视重随时间变化的解析式.实验方面,利用PASCO系统搭建了称量平台,巧妙地实现了视重的精密数字化测量(采样率250Hz).实验还采用了烧断引线的方式来启动沙漏以减小误差.理论与实验较好符合,并在不同的颗粒装填量下体现出普适性.

关键词：
动量
沙漏
烧断引线
物理研究
视重
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流动沙漏的视重随时间改变是一个经典的物理问题,常被教科书选作例子以辅助理解动量定理等概念.2017年这个问题被命制成为次年国际青年物理学家锦标赛(IYPT)的一道赛题,引起了更加广泛地讨论.通常的结论是:在稳定流动阶段视重等于静止时的重量(简单的计算表明颗粒对底部的冲击力恰好等于悬空部分的重力).事实上这个结论只能粗略地成立(若准确测量会发现视重稍大于静重),主要问题在于通常教科书中的分析并没有考虑沙漏上下容器内颗粒的运动情况.

AchimSack和ThorstenPöschel细致研究了这个问题.他们从质心的角度出发建立了一个系统性的数学模型[1],对于此类问题给出了普遍性的研究方法:分析颗粒团整体质心位置与时间的关系,并对时间求二阶导数得到质心加速度,利用质心运动定理即可得到整体所受合外力.该理论虽然最终能和实验较好符合,但由于其间涉及过多数学推演,对最后呈现的结果很难有一个直观的解释,不便于理解该现象的物理机制.本文分析问题的着眼点在于体系的动量分布及变化情况,不仅为颗粒流动构建出清楚直观的物理图像,而且在把握系统基本性质的基础之上,仅通过一些定性分析就能解释视重变化的规律.另外由于质点系动量定理只涉及一阶导数(从质心的视角解决问题需要求二阶导数),因此可以节省计算资源.

1、理论分析

1.1 动量方法

图1为沙漏的示意图.上、下容器半径均为R,漏斗口半径为r,漏斗(圆台状区域)的倾角为α.颗粒的上表面近似为平面(事实上会形成明显的凹锥,但为了简化,不予考虑).下落的颗粒与下容器及其中堆积的颗粒的碰撞近似为完全非弹性碰撞,堆积颗粒的表面亦近似为平面.

图1沙漏示意图

取沙漏整体为研究对象,由质点系动量定理

式中FN表示沙漏底部受到的支持力(其大小即为视重),mg为沙漏整体受到的重力,p表示体系的总动量.

通过直接考察体系的动量(速度)分布情况,分析得出整体的动量变化率,即可得出视重.

以沙漏底部圆心为坐标原点,建立竖直向上的坐标轴Oz,k表示沿z轴正向的单位矢量.

1.2 质量流量及其性质

通过任一水平截面S的质量流量为

其中ρ表示颗粒的密度,v⊥表示颗粒速度的竖直分量.

假设体系为定常流动,则I与纵向位置无关,即∂I/∂z=0.

Beverloo定律[2]指出,沙漏内颗粒装填到一定高度以上时,流量不随时间变化,即∂I/∂t=0.故流量与时间和空间均无关,因此在颗粒物质流动的区域,流量为常数.

1.3 体系整体的动量

由于体系具有柱对称性,故仅需计算竖直方向的动量即可.用V表示有颗粒流动的区域(z∈[zl,zu]),体系整体的动量为

可见体系的动量正比于有颗粒流动区域的长度(可以形象地称之为“动量柱”的长度),而且比例系数就是质量流量.有了此结论,不论是做定性分析还是定量计算,都会十分方便.

1.4 分阶段分析视重变化各阶段示意图如图2.

图2各阶段示意图

1.4.1 第一阶段

第一阶段是指从沙漏启动至颗粒触碰底部的过程(0<t<t1).令SR=πR2,Sr=πr2.

1.4.2 第二阶段

第二阶段是指从颗粒刚开始触碰底部至所有颗粒完全流出漏斗口的过程(t1<t<t2).根据上表面是否进入漏斗,第二阶段又分为两个子阶段:阶段二A(t1<t<tins)和阶段二B(tins<t<t2).

上式中SR=πR2,Sl表示动量柱下表面的面积,Su表示上表面面积(同vu、vl一样,Su、Sl均随着时间发生变化).流量可以表示为I=-ρSuvu,故可得下式(通常Sl相对于SR来讲是很小的,故将其略去)

这里对于vl的分析适用于整个第二阶段及第三阶段.

1.4.3 第三阶段

2、实验装置与方法

图3是实验装置实物图,对应图4的部分器材.沙漏由亚克力管和漏斗制成.为了使实验现象更明显,选用密度较大且流动性较好的铁珠(直径1mm)作为沙漏的装填物.称重平台由三个PASCOCapstone力传感器(采样频率250Hz)和其上固定的水平金属板构成.

图3实验装置实物图

图4实验装置示意图(略去夹持装置)

因为“启动沙漏”这一行为很容易对沙漏施加纵向的力,给称重数据带来较大偏差,所以要寻求一种扰动尽可能小的启动方式.我们在塑料薄片两端拴上细线,细线两端向上绕过沙漏顶部并系紧.相当于用细线把塑料薄片“挂”在沙漏上,进而“兜”住颗粒.启动沙漏时,只需要用火在沙漏顶端燃断细线,塑料薄片和颗粒便会一起落入下方容器中.

实验装置的规格为:r=9.25mm,R=25.00mm,α=35°.测得密度ρ=5356kg/m3,流量I=0.439kg/s.

其中流量按如下方法测得:拍摄视频(帧率240Hz)记录沙漏上方容器内颗粒全部通过漏斗口所需的时间,装填颗粒总质量除以该时间即为质量流量大小.

实际上沙漏启动后的短暂时间内颗粒存在加速过程,因此按此法测出的实为平均流量.

本实验装置设计巧妙,称量精确,具有一定的借鉴意义.

3、结果与分析

图5是多组实验结果之一,给出了在装填质量m0=0.900kg的情况下,视重随时间的变化(图中坐标系纵轴表示视重FN减去常量mg,且数据经过平滑化处理.图6、图7与图5同.).

图5视重随时间的变化(装填质量m0=0.900kg)

图6理论与实验结果对比(m0=0.900kg)

(a)为第一阶段放大图;(b)为第二阶段的局部放大图(灰色横条表示按理论给出的阶段划分)

将视重随时间变化的理论曲线与实验数据绘制在一起,如图6所示.从图中可以看出,理论和实验数据大体上是吻合的.在阶段一和阶段三能做到趋势上的符合;阶段一的最小值、阶段二A长期的稳定值(对应式(13)在t1<t<tins期间的常量2IvR)符合得很好,这些都在一定程度上体现了理论的合理性.

虽然阶段一大致趋势吻合,但局部特征存在不一致:理论中给出的结果是视重先跃变到一个负值,然后线性下降;但我们看到实验中视重是先经过一个“弯钩”形的变化然后再近似线性下降.这主要是由于理论假定沙漏启动瞬间流量即为常数,但实际上沙漏启动后颗粒团总是需要一段时间来加速(0<t<0.14s),然后流量才保持恒定,因此实验中并无跃变,且待流量恒定后才开始近似线性下降.而之所以加速阶段(即“弯钩”形阶段)视重并非线性下降,主要是因为流量改变时,式(4)右端的项I(t)(vl-vu)不再为线性,且会多出流量随时间变化的导数项(zl-zu)dI/dt<0.

最早下落的一批颗粒撞击到下方容器底部时,视重并不像理论曲线瞬间回升,而是在一小段时间内上升,其原因有二:1)由于第一批颗粒并非排列为水平面同时撞击,而是略微有先后之分,导致冲击力逐渐增加而非瞬间增加;2)力传感器内部的应变片受力改变,但对应的形变状态的改变需要一定的时间,无法瞬间改变.

此外回升的峰值超过了阶段二的稳定值,其原因有二:1)实验中第一批颗粒撞击底部后存在小幅度反弹,而理论假定不存在任何反弹,因此实验中第一批颗粒对容器底部的冲击力比理论预测更大;2)由于力传感器的核心部件是应变片,在突然受到较大冲击力时,其形变会超过平衡位置,导致测量结果较大.

再有,视重回升后经过一小段时间的振荡才相对稳定,而非理论中的直接达到某个值.AchimSack和ThorstenPöschel的研究把该现象归因于颗粒的飞溅,这显然是不妥当的,因为即使不飞溅也会有这种振荡,事实上其产生的原因是第一批撞击底部的颗粒施加的冲击力使得沙漏整体在竖直方向上振动,从而引起视重的起伏变化.随着振荡的进行,一方面由于冲击力维持基本不变,另一方面由于阻尼的存在,这种振动很快衰减,视重便稳定下来.

最后,实验测量的阶段三的最大值明显比理论值小,且下降较为平缓.其原因有二:1)实验中最后一批离开上方容器的颗粒并非整齐地排列为柱体下落,而是排列为上尖下粗的锥体,因此单位时间撞击底部的颗粒数逐渐减小(且总小于理论预测的数量),这就导致视重提前达到一个更小的峰值.不同于理论中的突变为零,这种减小是渐变的,这就导致了实验中平缓的变化;2)由前文分析得,在阶段二末期流量已开始减小,那么阶段三撞击容器底部的颗粒从漏斗口落出的初速度小于理论值,因此这些颗粒在撞击容器底部时的速度也比理论值小,导致冲击力小于理论值,因此视重峰值小于理论值.

为了说明理论的普适性,我们在不同的装填颗粒总质量下进行多组实验,得到的结果如图7所示.

图7不同装填量下视重随时间变化

首先可以看到对不同的装填量,所需时间随装填质量均匀减小,这是流量为常量的自然结果.另外随着装填质量减少,最后颗粒在下方容器中堆积的高度更低、离漏斗口更远,结束前颗粒下降到此处的速度也就更大,因此极大值更大,这也在结果中得到了体现.理论与实验均能较好符合(其中装填质量为300g的一组实验阶段二占比仅32%),因此对不同装填量是普适的.

4、小结

1)为了测量流动沙漏视重随时间变化的关系,我们巧妙地设计实验装置.沙漏的称重方式与启动方式都对研究此类问题具有普遍的借鉴意义.

2)为了更为简明地构建物理图像,我们从动量的角度分析并解决问题.理论分析指出:体系的总动量正比于动量柱的长度,视重变化量正比于动量柱长度的变化率.理论与实验结果相符较好.其处理方法对同类型问题具有借鉴意义.

3)细致地分析了实验和理论的偏差来源,增进了对此类现象的理解,并为进一步研究提供了方向.

史天翔,岳鑫.流动沙漏视重变化的定量研究[J].大学物理,2020,39(07):55-59.