1、引言

随机的想法已经渗透到科学的各个角落,在连续几届Fields奖授予概率学者之后,2019年Wolf奖授予了两位概率大师GregoryF.Lawler,Jean-FrançoisLeGall,2019年邵逸夫奖授予了概率大师MichelTalagrand.这些都表明:概率论已正式进入主流数学领域.在此背景下,作为数学专业基础课的《概率论》课程该如何开展呢?笔者一直坚信,教学不仅是传授知识,更重要的是启智,为学生多打开几扇窗;此外,数学是一个整体,概率与现实世界关系紧密,因而是可以让学生结合所学内容做一些相关性研究课题的,譬如Berkerley大学统计系DavidAldous的创新性课程ProbabilityandRealWorld就是结合现实问题以分组课题研究形式来开展的.刘柏森[1]对概率统计研究性教学改革做了一些有益的讨论;周玲[2]结合抽象思维能力的培养,给出了概率论研究性教学的一点思考;秦旭等人[3]探讨了概率论与数理统计教学中课程小论文写作对学生创新能力培养的作用.如上文献大多是在大学公共课背景下进行的教学研究探索,笔者结合数学专业实际情况,在教学中针对学科融合式的研究性教学做了一些有益的尝试,主要围绕概率论中的基本结果,着重于随机的想法与各学科,譬如分析、代数、物理等的交互渗透,特别强调了概率方法的“润滑剂”效应.

2、交叉融合的教学探索与实践

结合我院数学与应用数学专业培养方案,紧扣《概率论》课程教学大纲,针对某些知识点,将学科融合式研究性教学加入了教学设计,开展了一些专题性教学探索与实践.

2.1Jordan公式应用之自然数互素问题

引入概率公理化定义之后,通常会讨论概率的一些基本性质,譬如加法公式等,而如下的Jordan公式则是加法公式的自然推广.

定理1(Jordan公式,[4])设(Ω,I,P)是完备概率空间,An∈I,n≥1,则

P(∪i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)−∑i<jP(AiAj)+∑i<j<kP(AiAjAk)+⋯+(−1)n−1P(A1A2⋯An).(1)

作为举例,Jordan公式通常被用在相合问题等的概率计算上,为体现概率思想的妙用,选取了Jordan公式在自然数互素问题上的应用,也即任取两个自然数,问其恰好互素的可能性多大?记={1,2,…,n},构造如下概率模型:

Ωn={ω=(x1,x2)∶x1∈,x2∈},In=2Ωn,

定义

Pn(A)∶=∑ω∈An−2, ∀A∈In,

则(Ωn,In,Pn)是概率空间.若令An={(x1,x2)∈Ωn∶x1与x2互素},则问题转化为计算limn→∞Pn(An).任给素数q,记Dnq∶={(x1,x2)∈Ωn∶q|x1,q|x2},并且注意到

Pn(An)=1−Pn(Acn)=1−Pn(∪q≤nDnq),

则由Jordan公式可得

Pn(∪q≤nDnq)=∑q≤nPn(Dnq)−∑q1<q2Pn(Dnq1Dnq2)+∑q1<q2<q3Pn(Dnq1Dnq2Dnq3)+⋯,(2)

注意到

limn→∞Pn(Dnq)=limn→∞[n/q][n/q]n2=1q2,

limn→∞Pn(Dnq1Dnq2)=limn→∞Pn(Dnq1q2)=1q21q22,…

因而可得

limn→∞Pn(An)=1−limn→∞Pn(∪q≤nDnq)=1−∑qq−2+∑q1<q2q−21q−22−∑q1<q2<q3q−21q−22q−23+⋯=∏q(1−q−2),

其中无穷乘积中的q取遍所有素数.又由Euler乘积公式

ζ(s)=∏q(1−q−s)−1, s>1,(3)

及ζ(2)=π2/6,其中ζ(s)=∑n=1∞n−s为Riemannzeta函数(请参见[5]),立得

limn→∞Pn(An)=ζ−1(2)=6/π2.

注关于两个自然数互素的问题有很多相关讨论,譬如文献[6].可以进一步地问:任取r个自然数,它们恰好互素的可能性是多少?它们恰好两两互素的可能性又是多少?并且这些问题能否推广到有限域上多项式环呢?譬如任意取两个多项式,它们恰好互素的可能性有多大呢?这些都牵涉到概率思想的应用,且没有超出本科生的学习范围,因而可作为本科生研究课题,让学生进行分组探索,增加趣味性之余,也锻炼了学生的科研能力.

2.2独立性探讨之Euler乘积公式与素数无穷多之概率证明

为理解独立性,课程中试着构造合式的概率空间,用概率的想法来讨论Euler乘积公式及素数有多少个的问题.

考虑如下的概率模型:

Ω={1,2,⋯}, I=2Ω, P(A)∶=∑ω∈Aω−s/ζ(s), ∀A∈I,

其中ζ(s)为如前所定义的Riemannzeta函数,则(Ω,I,P)是概率空间.任给正整数m,记Dm=mℤ+,则Dm∈I,并且有

P(Dm)=∑ω∈DmP({ω})=∑k=1∞P({km})=m−s.

令p1,p2,…,pk为k个不同的素数,有Dp1p2…pk=Dp1∩Dp2∩…∩Dpk,因而

P(Dp1p2⋯pk)=P(Dp1∩Dp2∩⋯∩Dpk)=(p1p2⋯pk)−s=∏i=1kP(Dpi),

也即事件列{Dp,p是素数}是相互独立的.又注意到{1}=∩pDcp,从而有

ζ−1(s)=P({1})=P(∩pDcp)=∏p(1−p−s),(4)

此即前述的Euler乘积公式(3).若在(4)中令s↓1,则可得∏p(1−p−1)=0,也即∑plog(1−p−1)=−∞.注意到,当0<x<1/3,log(1-x)>-3x/2,立得

−∞=∑plog(1−p−1)≥−32∑p1p,

也即∑pp−1=∞,故可知素数有无穷多个.

注独立性是概率论中最重要的概念之一,随机思维也有其独特作用,其与Euler乘积公式及素数的多少没有任何关系,但是通过适当概率模型的构造,却能用概率工具给出数论中深刻定理的简易证明,这不但震撼了我,更震撼了学生,让其对独立性、概率思维及数学的统一性有了更深的理解.注意到,MartinAigner,GunterM.Ziegler[7]所著《ProofsfromTHEBOOK》中开篇就是“素数无限的六种证明”,其充分体现了分析、代数、几何与拓扑,也即数学的统一性!事实上,概率方法在数论中很活跃,也很深刻,PalTuran,AlfredRenyi,MarkKac,PaulErdos等在这方面有开拓性的贡献,该领域针对本科生也有很多有趣的课题可做,譬如MarkKac的优美小书[8].

2.3条件概率之随机游动与输光问题

设某粒子在整数格子点上运动,其出发点为0,若时刻n处于位置x,则n+1时刻处于位置x+1的概率为p,处于位置x-1的概率为q=1-p.用Sn表示粒子时刻n所处的位置,则有S0=0,

P(Sn+1=x+1|Sn=x)=p=1-P(Sn+1=x-1|Sn=x).

称{Sn,n≥0}为整数格子点上的简单随机游动.

输光问题是随机游动理论中的一个经典问题:抛一枚硬币,P(“正面”)=p,P(“反面”)=q=1-p,甲乙两人进行如下赌博游戏,独立抛掷该硬币,若“正面”出现,则甲赢得一元钱,若“反面”出现,则甲输掉一元钱;现给定正整数N,设甲初始有0≤x≤N元钱,若甲的钱数达到0或者达到N,则游戏结束,试问游戏以甲输光结束的概率?注意到,该问题恰好可以用前面的随机游动模型来描述.记Sn为n局后甲拥有的钱数,ux=P(甲输光|S0=x),则对任意的整数0<x<N有

注意到u0=1,uN=0.解上述带边界的线性方程组可得

(i)p=q=1/2,ux=(N-x)/N;

(ii)p≠q,ux=[(q/p)x-(q/p)N]/[1-(q/p)N].

显见,若游戏是公平的,则甲初始资本越小,其输光概率越大,初始资本越大,其输光概率越小.

注教学实践中,可鼓励并指导学生分小组进行延伸阅读,如随机游动的常返与暂留问题、随机游动与电网理论(离散位势理论)、自规避随机游动、高分子聚合物的随机游动模型、金融领域的随机游动假设等等;结合R语言或Python的应用,也可对随机游动、自规避随机游动的轨道进行模拟研究,进而导出布朗运动.

2.4一阶矩、二阶矩方法之分析与组合

概率论中的一阶矩、二阶矩方法非常简单,但其使用方便、威力巨大.为体现学科交融,课堂上分别从分析和组合两方面讨论了该方法的应用.

定理2(一阶矩方法,[9])设X是非负随机变量,则

(i)对任意t>0,有P(X≥t)≤E(X)/t;

(ii)进一步的,若又有E(X2)<∞,则对任意t>0,有P(|X-EX|≥t)≤Var(X)/t2.

定理3(二阶矩方法,[9])设X是非负随机变量且E(X2)<∞,则

(i)对任意0≤t≤1,有P(X>tE(X))≥(1-t)2[E(X)]2/E(X2);

(ii)特别的,有P(X>0)≥[E(X)]2/E(X2).

Weierstrass逼近定理设f∶[0,1]→ℝ是连续函数,则对任意ε>0,存在多项式函数p(x)使得sup0≤x≤1|f(x)−p(x)|≤ε,也即多项式函数在(C([0,1]),||·||)中稠密.

证该证明属于Bernstein.任给0≤x≤1,令Bn～Bin(n,x),定义n次多项式

p(x)=E(f(Bn/n))=∑k=0nf(k/n)Cknxk(1−x)n−k.

注意到

|f(x)-p(x)|=|f(x)-E(f(Bn/n))|≤E(|f(x)-f(Bn/n)|IAδ)+E(|f(x)-f(Bn/n)|IAcδ),

其中Aδ={ω∈Ω:|x-Bn/n|>δ}.由于f是[0,1]上连续函数,因而可取到最大值并且一直连续.从而可选适当的δ使得

E(|f(x)−f(Bn/n)|IAcδ)≤εP(Acδ)≤ε/2,E(|f(x)−f(Bn/n)|IAδ)≤2sup0≤x≤1|f(x)|P(Aδ).

另一方面,应用Chebyshev不等式可得

P(Aδ)=P(|x-Bn/n|>δ|)≤x(1-x)/(nδ2)≤1/(4nδ2),

可选充分大的n使得任意的0≤x≤1,都有

|f(x)-p(x)|=E(|f(x)-f(Bn/n)|IAδ)+E(|f(x)-f(Bn/n)|IAcδ)≤ε.

也即sup0≤x≤1|f(x)−p(x)|≤ε.

Erdos不同和记={1,2,…,n},说子集{x1,x2,…,xk}⊆具有不同和,若从该集合中任取1≤i≤k个元素做求和,所得值都不相同.例如,{1,2,4}具有不同和,{1,2,3,4,5,6,7}是其和集;但是,{1,3,4}不具有不同和.记

f(n)∶=max{1≤k≤n:{x1,x2,…,xk}⊆且有不同和}.

注意到,{2i,0≤i≤log2(n)}是具有不同和的,因而f(n)≥log2(n)+1.PaulErdos猜想:存在常数C使得f(n)≤log2(n)+C.可“无中生有”,用概率方法给出f(n)的一个上界估计.

设{x1,x2,…,xk}⊆具有不同和,令{Bi,1≤i≤k}是独立同分布的两点值随机变量,其公共分布为P(B1=1)=P(B1=0)=1/2.记X=∑i=1kxiBi,可知X是{x1,x2,…,xk}的和集上的均匀随机变量(将元素0加入和集中),即对和集中的任意元素a,P(X=a)=2-k.进一步有

E(X)=∑i=1kxi/2, Var(X)=∑i=1kx2i/4≤kn2/4.

给定λ>1,令t=λVar(X)−−−−−−√,应用Chebyshev不等式得

P(|X-E(X)|>t)≤t-2Var(X)=λ-2.

因而

P(|X−E(X)|≤λVar(X)−−−−−−√)≥1−λ−2.

由注意到Var(X)≤kn2/4,有

P(|X−E(X)|≤λnk√/2)≥1−λ−2.

观察到X在区间[E(X)−λnk√/2,E(X)+λnk√/2]中至多有1+λnk√个不同取值,因此

2−k(1+λnk√)≥P(|X−E(X)|≤λnk√/2)≥1−λ−2.

由λ>1及其任意性可知

1+nk√≥2ksupλ>1λ−1(1−λ−2)=2k+1/(33√),

从而可得

k≤log2(n)+2-1log2(log2(n))+O(1).

也即得到了f(n)的一个上界估计.

注Weierstrass逼近定理是分析中的经典结果,将概率思维应用过来,证明显得清晰又简洁,是概率与分析交融的典型代表;不同和是组合数学中的一个有趣问题,这里虽没有随机的影子,但通过随机想法的引入,应用简单的概率方法却给出了该问题的一个上界估计,其虽距离PaulErdos的猜想还有一段距离,但让学生体验到概率威力的同时也有了研究课题:能否进一步精确上界估计呢?事实上,概率方法与组合数学相互交融,博大精深,妙趣横生,可参见专著[9].一阶矩、二阶矩方法除上面应用之外,在其它领域,譬如概率数论、图论、随机算法、渗流等等,也有很广泛的应用.特别的,渗流是统计物理中的一个重要领域,其问题叙述简单易懂,但解决极其困难,在此领域已产生多位Fields奖得主,但是在本科概率论教学中却可以应用一阶矩、二阶矩方法给出树上渗流概率的一个简单估计,这不但可以拓展学生的视野,展示随机想法的威力,更能激发学生学习概率的兴趣.

3、教学效果

在概率论课程中有意识地引入交叉融合式研究性教学设计,主要萌发于本人对数学统一性的看法及初心——播下随机的“种子”.至今,共实践有四届约367名学生.在课程开始、期中、期末及学生考取研究生后都有一定的跟踪反馈并做了一些调查,应该说部分达到了目标——增加了学生对随机的兴趣,播下了几粒随机的种子.笔者给出了关于调查和反馈的简单统计分析图,见图1、图2.

图1兴趣变化趋势图

图2概率论期末成绩

从图中可以看出,随着课程的展开,充分调动了大多数同学的积极性与兴趣,特别是有些同学有持续的浓厚兴趣;课下与学生沟通及学生评教系统反馈也证实了这一点;课程难度有所增大,对学生的努力程度要求比较高,少部分同学选择了放弃,部分同学尝试进行了课题研究,并撰写了研究报告,这在期末成绩上也有体现.

4、结论

以上是笔者在我院数学与应用数学专业本科《概率论》课程教学过程中关于学科融合式研究性教学的一点探索和实践,期间也出现了一些问题,譬如在教学改革中怎样掌控课程的广度与深度,平衡教师、学生关系,选取恰当的学科材料,因材施教等等,希望本文可以起到抛砖引玉的作用.事实上,上述只是冰山一角,诸如Erdos-Renyi随机图的相变现象、期望与朋友圈、优惠券收集、矩问题、Borel-Cantelli引理之圆周覆盖问题等等,契合本科生的研究课题大有可为.特别的,李贤平、方毅[10]与DavidAldous的网上课程都是非常好的资源,有很多生动活泼的本科生可操作的课题,所谓教学相长可能就来源于斯.或许部分教师认为本人的这些探索和实践过于数学化、理想化,失去了趣味性,概率应该更生动活泼.其实,教师可借用多种手段向学生展示概率的思维特点,让学生自己去体味概率的魅力,在数学统一性上去欣赏她的美,从而不断地提高其数学素养.如果确觉无味,可尝试把R语言及Python引入进来,让学生做一些随机模拟,譬如重要分布、大数定律及中心极限定理的可视化,蒲丰投针的进一步研究与蒙特卡洛算法,Bayes公式再认知,随机游动轨道实现等等.作为师者,对“概率”怀痴爱之心,不断去理解“她”,尽可能把“概率思维”的魅力通过各种途径展现出来,进而激发学生的探究之心,最终达到师者传道启智之初心.

参考文献：

[1]刘柏森.“概率论与数理统计”课程教学改革新探索[J].长春师范大学学报,2018,37(6):162-170.

[2]周玲.关于概率论教学的一点思考[J].大学数学,2007,23(6):14-16.

[3]秦旭,陈绍刚,黄廷祝.基于课堂论文写作培养学生创新能力[J].大学数学,2016,(32)3:61-64.

[4]李少辅,阎国军,戴宁,等.概率论[M].北京:科学出版社,2011.

[10]李贤平,方毅.概率论基础学习指导书[M].北京:高等教育出版社,2011.

杨广宇,赵建彬.数学专业《概率论》课程交叉融合的探索与实践[J].大学数学,2021,37(01):45-50.

基金:河南省高等学校青年骨干教师项目(2019GGJS012)