多电飞机是未来飞行器发展的重要方向，而多电航空发动机（More Electric Engine,MEE）的性能直接决定了飞机的整体性能[1]。多电发动机的核心部件主要有：磁悬浮轴承系统、内置式整体起动/发电机、电驱动燃油泵、分布式控制系统[2]，其中前两者一般都直接安装在高压转子上，对转子运行有直接影响。磁悬浮轴承具有无磨损、无须润滑、耐高温、易实现主动调节等优点[3]，应用于航空发动机后可以省去润滑系统。内置式整体起动/发电机通常采用开关磁阻电机，通过数字控制可轻松实现电机和发电机之间的切换，应用于发动机后可省去附件传动系统，提高轴功率提取能力[1]。

磁悬浮轴承的工作性能受其自身机械结构、电气参数和控制算法的限制，会出现失稳等现象，如Soni等[4]发现当磁悬浮转子受到基础激励时，易发生参数激励振动后失稳，而利用双控制律才可以使磁悬浮轴承稳定。而当电磁力接近饱和时，轴承会表现出强烈的非线性特征，Kandil等[5]则针对此特性优化了基于磁悬浮轴承的主动振动控制。内置式整体起动/发电机采用开关磁阻电机后，定子主要工作在深度磁饱和区域，转子径向偏移后电机会对转子系统产生不平衡磁拉力（Unbalanced Magnetic Pull,UMP），该力呈现强烈非线性，会影响轴承承载甚至导致失稳。王喜莲等[6]考虑磁饱和建立了一种开关磁阻电机径向力解析模型，具有较高的精度和计算效率。Hao等[7]则采用时变刚度模型研究了电机非线性磁拉力和轴承非线性支承力共同作用下转子的动态特性。此外，在发动机轴流压气机中，由于转子径向偏移产生的非线性气流激振力（Alford力）也是影响转子动态特性的重要因素之一[8-9]。在多电发动机中，这3种力直接作用在高压转子上，将会对转子的动态特性产生影响，因此有必要研究这3类部件共同工作时的转子特性。

本文针对某多电发动机模拟转子系统，利用Timoshenko梁理论建立系统模型，利用有限元方法求解包含上述磁悬浮轴承力、Alford力和开关磁阻电机UMP的转子动力学方程，进而研究转子系统的动态特性以及磁悬浮轴承在此系统中的控制作用。

1、转子系统模型

1.1转子有限元模型

本文采用Timoshinko梁模型对转子建模[10]，研究用模拟转子有限元模型如图1所示。全长1 006mm。转子材料密度7 930 kg/m3，杨氏模量194 GPa。转子模型节点数25，梁单元数24。各模拟盘分别代表了轴承、电机转子、压气机和涡轮等的动力学模型。各模拟盘参数见表1所示。其中J为极转动惯量，I为赤道转动惯量，转子总质量47.8 kg。

为获取转子系统的动态特性，需求解如下有限元格式方程：

表1质量单元参数

其中：[M]、[C]、[K]、[G]分别为转轴的质量阵、阻尼阵、刚度阵和回转阵，q为广义位移向量，ω为轴转速，fb、fm、fa分别为两个磁悬浮轴承的电磁力、开关磁阻电机的磁拉力以及Alford力，fg为转子重力。

1.2磁悬浮轴承力

本模型中磁悬浮轴承采用C型8磁极形式，轴承参数见表2所示。轴承控制方式为差动控制，因此轴承中一个径向自由度上产生的悬浮力为[11]:

式中：μ0为真空磁导率，i为控制电流强度，δ为轴颈移动量，即式(1)中q在轴承节点处的位移量，其他参数意义如表2所示。

表2径向磁悬浮轴承参数

图1转子系统模型

磁悬浮轴承采用PD控制，控制算法的差分方程如式(3)所示：

其中：TD=KdKp为微分时间常数，Td为惯性时间常数，Uc为控制器输出控制电压，Ue为传感器输入电压（8 V/mm），上标k为离散步数，T为采样时间（即计算时间步）。磁悬浮轴承功放采用简化理想模型，即输入电压Uc和输出电流之间呈线性关系i=αUc，且α=1。

1.3开关磁阻电机不平衡磁拉力

当开关磁阻电机定子磁极和转子磁极不对正时，磁极间的磁密可以划分为3部分，如图2所示。

图2转定子间磁场分布

沿气隙磁路（点1至点5）进行积分，得到两磁极间的径向力为[12]:

式中：Bm、Bf1及Bf2为图2中所示3个区域的（平均）磁密，具体定义见文献[12]。

假设电机转子磁极数为Np，则电感变化周期为TL=2π/Np，故可将线圈电感展开为基波角频率Np的傅里叶级数：

其中位置角θ表征转定子磁极间相对位置，0°定义为转子磁极间中线与定子磁极中线重合时；系数lk为电流的函数。此处取n=8，系数值见文献[13]。本研究中采用12/8极三相开关磁阻电机，用于计算开关磁阻电机磁拉力的主要参数见表3所示。

其中列出了电机常用状态（发电）参数。基本原理是：当θon<θ<θoff时，相电路开通，相电压Up施加在线圈两端为线圈充电，线圈电流超过icut时控制器斩波；其他时刻相电路关断，线圈通过相应续流二极管进行续流。

表3电机磁拉力计算参数

图3显示了12/8极三相开关磁阻电机A相工作时磁路及转定子极间电磁力。

图3电机不平衡径向磁拉力

在理想状态，定子中心Os和转子中心Or重合，4个A相定子磁极和4个转子磁极间径向力f+m1和fm1、f+m2和fm2两两平衡，转子受到的径向合力为0。当转子出现偏心e时，前述4个力将不平衡，其合力将在转子上产生径向磁拉力。f+m1、fm1、f+m2、fm2按式(4)计算，获得每一时刻的不平衡磁拉力合力fm，并在转子坐标系中将其分解施加到动力学方程对应自由度上。随开关角值选择不同，可能出现两相同时开通的工况，此时需将两相产生的8个径向力合成为径向磁拉力。

1.4气流激励Alford力模型

采用文献[9]中对原始Alford力表达式的改进形式，叶尖气流激振力可以表示为：

其中：RT为叶尖半径，RB为叶根半径，ν1为叶片进气相对速度，ρ0为气流密度，δˉ为叶顶平均间隙，Ψ为速度系数，I1、I2的详细表达式见文献[9]。此外，Alford力fa的方向与叶片转子的偏移e(t)方向垂直，因此在计算中需要根据e(t)的方向确定fa的方向。例如，在图4转子坐标系ξOη中，fa始终指向-ξ方向，而转子坐标系ξOη与固定坐标系x Oy不重合，因此可以将fa在x Oy中分解为fax和fay，并施加在转子动力学方程式(1)的相应自由度上。Alford力主要计算参数见表4所示。

图4 Alford力及其方向

表4 Alford力主要计算参数

2、数值计算结果及分析

本文采用Newmark-beta法求解动力学方程式(1)，时间步长T=2μs。为获得转子系统的稳定响应，单一工况计算时间步数为5×105步，并取后面5×104步作为系统稳态响应解。

2.1电机不平衡力对转子临界转速的影响

在有/无磁拉力作用下，转子1#轴承在x方向上的升速响应（无Alford力）如图5所示。此工况模拟开关磁阻电机带动转子升速，此时设置电机相开关角分别为θon=0°及θoff=18°。

从图5中可以看出，有磁拉力存在时，转子的临界转速发生变化，由7 215降至6 810 r/min。实际上，根据式(4)所示，当电机转子发生径向偏移时，偏移方向转定子磁极间气隙c0减小、气隙磁密增大，导致偏移方向的磁拉力增大。这种增大的磁拉力反过来增加了转子挠度。因此，从转子的角度来看，在其他条件不变的情况下，不平衡磁拉力起到了一种“软化”转子刚度的效应，这会导致转子的临界转速下降。

图5转子升速响应

转速15 000 r/min时电机磁拉力y向分量的时域及频域曲线如图6所示。由时域曲线图6(a)可见，磁拉力波形整体呈现按转频波动的正弦曲线形貌，额外在峰值处出现许多“毛刺”（高频分量）。频域曲线图6(b)也反映出类似特点：转频（250 Hz）分量最高，同时还含有较微弱的电频率倍数与转频的和差频：8×250 Hz±250 Hz、2×8×250 Hz±250 Hz等。这些高频由每相开关及斩波产生，引起时域曲线中的“毛刺”现象。总体上看，虽然磁拉力为非线性力，但线性转频分量占绝对优势，所以在转子升速过程中系统并未表现出明显的非线性特征。

2.2 UMP及Alford力作用下磁悬浮转子系统特性

系统同时存在磁拉力及气流激振力时，1#轴承处转子x向位移随转速的分岔图如图7所示。从图7中可见，若转速小于13 850 r/min，转子系统进行单周期运动；从13 850 r/min开始，转子运行随不同转速可能呈现出多周期、拟周期以及混沌运动。在转速不超过15 000 r/min时，随着转速升高，此自由度上的静偏心增加，而转速超过15 000 r/min后，此处静偏心突然又跳跃至0值附近，后随转速静偏心反向增加，一旦转速超过15 200 r/min，则系统失稳。

图6电机磁拉力曲线(15 000 r/min)

图7 1#轴承节点x向位移随转速分岔图（有磁拉力）

上述自由度随转速变化的瀑布图如图8所示。在转速小于13 850 r/min时，频谱上只有转频ω和极其微弱的1阶反进动频率ω-1≈100 Hz。当转速增大至13 850 r/min时，1阶反进动频率ω-1分量幅值突然增加，并伴随出现较明显的ω-1的倍频2ω-1、3ω-1及4ω-1等。此外，频谱上还出现了两个新频率：ω1=ω-2ω-1及ω2=3ω-1-ω，而从14 300 r/min开始，频谱上甚至还出现了ω1与ω2的差频，这些和差谐波分量表明系统发生了较为典型的非线性振动。

图8 1#轴承x向位移瀑布图（有磁拉力）

随着转速升高，ω2不断减小而ω1不断升高，当两者相等时（约15 050 r/min），系统突然进入了另一种振动形式，即对应图7分岔图中静偏心突然变化的情况。此时1#轴承x向位移频谱如图9所示。

图9 1#轴承x向位移频谱（15 200 r/min)

从图9中可见，响应仍然存在转频ω、1阶反进动频率ω-1及其倍频，同时和差频ω1与ω2也存在且大致相等。频谱中出现了两个较明显的新频率：分频(1/3)ω-1及ω-1-δω，其中δω=ω1-(1/3)ω-1；在频率大于ω-1后，出现了多处间隔频率为δω的谱线。频谱中还出现了连续谱（频率0～ω-1间），意味着转子即将进入混沌运动。不过这些频率幅值相较ω-1的幅值59.5μm都较小，故转子特性间于拟周期和混沌运动之间，此特点可以从相应的相轨迹和Poincaré映射图中看出，如图10所示。

图1 0 1#轴承处x向相轨迹及Poincaré映射（15 200 r/min)

不存在磁拉力时，1#轴承处转子x向位移随转速的分岔图如图11所示。对比图7，没有磁拉力时，系统响应出现分岔的转速提升至14 050 r/min，直至转速14 750 r/min时系统并无图7中出现的静偏心改变以及跳跃现象。值得注意的是，转速超过14 750 r/min后系统失稳，此转速较有磁拉力存在时（15 200 r/min）降低，表明磁拉力提升了转子的稳定阈。

图1 1 1#轴承节点x向位移随转速分岔图（无磁拉力）

无磁拉力时1#轴承x向位移瀑布图如图12所示。对比图8，ω、ω-1及其倍频、两个和差频ω1与ω2仍然存在，另外又出现两个新的频率ω3=2ω1及ω4=ω2-ω1。当转速为14 400 r/min时，有：

图1 2 1#轴承x向位移瀑布图（无磁拉力）

在图8中，一旦ω1=ω2系统动态响应发生较大变化；而在此处，当ω3=ω4时系统直接进入混沌运动并保持。转速14 450 r/min时有无电机磁拉力情况下，1#轴承节点处响应的相图和Poincaré映射如图13所示。可见，在无磁拉力时，转子系统已进入了混沌运动状态；有磁拉力时，转子进行拟周期运动，再次证明在有Alford力时，电机磁拉力可以稳定转子运转，抑制混沌运动。

图1 3 1#轴承处x向相轨迹及Poincaré映射（14 450 r/min)

2.3磁悬浮轴承控制参数的影响

采用PD控制的磁悬浮轴承对转子的控制（调节）作用通过改变控制参数Kp及Kd实现，即不同控制参数使得轴承对转子偏移产生的悬浮力不同，从而影响转子的动力学特性。转速14 500 r/min时1#轴承节点x向位移随Kp的分岔图如图14(a)所示。从图中可见，随着Kp增大，转子的平衡位置从约100μm处逐渐向轴承中心靠近，表明可以利用磁悬浮轴承控制发动机转子涡动中心，从而调整压气机叶尖气隙，进而改变发动机工况。1#轴承节点x向位移随Kd的分岔图如图14(b)所示。从图中可见，在Kd<0.8时，随着Kd值升高，转子振幅有减小的趋势，而Kd>0.8后，转子振幅逐渐增大并稳定。

图1 4 1#轴承节点x向位移分岔图（14 500 r/min)

控制参数Kp、Kd不同值时1#轴承处的轴心轨迹和x向Poincaré映射如图15所示。可以看到，通过选择不同的控制参数不当可以控制转子振幅，还可以改变转子运动状态，使转子从混动运动变为拟周期或多周期运动。

综合图14及图15结果，可以认为通过改变磁悬浮轴承控制参数可以影响转子的动态行为。这意味着在有不平衡磁拉力和Alford力存在时，可以通过调节磁悬浮轴承控制参数来获得不同的运动状态。

3、结语

本文通过对磁悬浮轴承支承且含不平衡磁拉力及气流激励Alford力的多电发动机模拟转子系统的数值计算分析，得到如下结论：

(1)电机引起的不平衡磁拉力将降低转子临界转速，但在Alford力存在时，转子稳定阈将扩大；

(2) Alford力和电机磁拉力会引入各种谐波、次谐波激励，并随转速使得转子呈现单周期、多周期、拟周期及混沌运动状态；

图1 5不同Kp、Kd值时1#轴承处轴心轨迹和x向Poincaré映射（14 450 r/min)

(3)调节磁悬浮轴承控制参数能改变转子平衡位置、运动轨迹和振幅，可以利用磁悬浮轴承的此优点实现对发动机转子的主动控制。

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基金资助:四川省自然科学基金资助项目(2022NSFSC2002,2022NSFSC1951);

文章来源:王小虎,赵雅涵,赵晶晶,等.含磁拉力及Alford力的磁悬浮转子动态特性分析[J].噪声与振动控制,2024,44(06):97-103.