1、前言

起动是泥沙运动研究的基本问题与难点之一，泥沙起动的关键在于找到泥沙由静止状态转为运动状态时的临界水流条件。泥沙的大小、形状和相对位置会影响泥沙起动。

泥沙相对位置概念最早是由Einstein[1]所提出的隐蔽度系数引出，在研究被粗颗粒环绕的细颗粒受力时，粗颗粒的遮蔽是细颗粒所受上举力减少的重要影响因素之一。王涛等[2]、聂锐华等[3]用等效粒径的概念近似描述泥沙遮蔽作用在非均匀沙起动公式中的重要影响。遮蔽系数是为了描述非均匀沙提出的。针对均匀沙，则需要通过暴露度来表示，韩其为最早将泥沙相对位置的影响定义为泥沙相对暴露度的概念，并指出在研究起动流速时，必须考虑颗粒的相对暴露度[4-7],钱宁[8]在解释床沙分离程度不同的现象时，指明了细颗粒的暴露这一概念的重要性。杨奉广等[9]认为有必要沿着韩其为的定义继续研究暴露度对起动流速的影响，并采用程年生[10]提出的颗粒间距分布概率密度公式，推导出了相对暴露度的概率密度分布公式。张磊等[11]进一步强调了床面泥沙暴露度是影响床面泥沙起动和输移的重要因素之一。大量研究表明暴露度对泥沙起动的影响不可忽略[12-14]。

白玉川[15]提出了双向暴露度的概念，并通过数学模型计算，系统性地分析了纵向相对暴露度分别与上举力和拖曳力之间的定量公式。张根广[16]在双向暴露度的基础上进一步探求了颗粒直接的遮蔽作用对泥沙颗粒所受到的拖曳力和上举力的影响。鉴于白玉川[17]和张根广[18]的研究建立在二维平面上，而实际情况中单颗粒泥沙的位置呈现的是三维形态，故采用二维平面分析不够准确。同时白玉川[15]认为纵向暴露度和垂向暴露度可以相互转化，却没有具体分析两种相对暴露度对单颗粒泥沙起动的具体影响。故而针对垂向相对暴露度对泥沙起动的影响仍应进行进一步讨论。

综上所述，为进一步探求泥沙起动与垂向相对暴露度之间关系，本文从三维角度研究单颗粒泥沙起动受力分析到公式验证，探讨了垂向相对暴露度对单颗粒泥沙起动的影响。

2、理论分析

2.1 垂向相对暴露度推导

如图1所示，针对泥沙颗粒进行三维空间受力分析，O点为单颗粒泥沙的球心，G1、G2、G3、G4分别为支撑单颗粒泥沙的四个底板玻璃半球球心，则本试验的暴露度公式为：

式中：R1为泥沙颗粒半径；R2为底板玻璃半球半径。

本文采用韩其为[3]提出的相对暴露度Δ′概念，与白玉川[17]提出的双向暴露度中的垂向暴露度Δ′z概念一致。本研究中所有相对暴露度均为垂向相对暴露度Δ′z,垂向相对暴露度

式中：Δ为垂向暴露度，指研究颗粒的最低点与其下层颗粒接触点之间的垂向距离；D1为所研究颗粒的粒径。

因而相对暴露度Δ′Z为：

图1几何分析示意

图2颗粒受力分析

2.2 泥沙起动受力分析

基于白玉川[15]、段自豪[17]等单颗粒泥沙受力模型，将其推广到实际三维情况，进行泥沙起动受力分析。如图2所示，图中e1为泥沙颗粒接触点，单颗粒泥沙处于起动临界状态时，依据单颗粒滚动力矩平衡，颗粒受到水流拖曳力FD,上举力FL,重力G和水平惯性力Fa:

式中：CD为拖曳力系数；CL为上举力系数；A1和A2为泥沙颗粒面积修正系数，A1=A2=π/4;A3为颗粒体积修正系数，A3=π/6;u0为泥沙起动时临界水流底部流速；ρ为水的密度；γs为泥沙容重；γ为水的容重；D1为运动单颗粒泥沙的粒径。

如图2所示，由于本文为三维模型，需对原公式进行改进。由于模型中的力臂产生了变化，对接触点e1与e2的中点e0建立滚动力矩平衡模型，力臂分析为：

单颗粒泥沙在起动临界状态的力矩平衡为：

式(8)和式(9)中m和n的取值是根据流速分布形式确定的，对于单颗粒泥沙而言，任何的流速分布曲线可无限接近抛物线曲线结构，且具有较高的精度。在这种情况下，m近似等于1/3;而n的取值则因为升力矩比推力矩小很多，一般在0～1的范围内取值，近似取1/3[17]。将m、n取值和式(3)～(10)代入式(11)可得泥沙起动的临界水流底部流速为：

水平惯性力主要为非恒定流作用下水流加速度对泥沙作用的加速度力，当水流为恒定流时，水流加速度ɑ=0,式中Cɑ项为零。

3、试验设计

由于单颗粒泥沙粒径大小问题，难以对单颗粒泥沙进行精细的起动试验研究，采用小球模拟床面糙度和起动泥沙单颗粒来进行试验。试验水槽长为16.0 m, 宽为0.4 m, 高为0.5 m。试验布置如图3和图4所示，水槽左端为造流管道，右侧为尾门，可以通过控制尾门来调节水位。

图3试验布置

实验采用的单颗粒泥沙起动小球的粒径分别为2.0 cm、3.0 cm和4.0 cm, 如图3所示，在水槽底部利用半球固定在底板上进行床面糙度模拟，分别将直径2.0 cm、3.0 cm、4.0 cm的半球以四边形方式紧密排列在底板上，底板尺寸为长100.0 cm、宽40.0 cm、厚0.2 cm。

在水槽侧面布置一台高速摄像机对试验过程进行拍摄，高速摄像机的采样频率为125 Hz, 水位测量采用非接触式超声波水位计，流速测量采用三维剖面流速仪，采样频率均为100 Hz。为了防止绕流对流速仪测量数据产生影响，将流速仪放置于运动颗粒偏侧方用来测量运动颗粒质心的流速。在沿水槽试验段放置了4台水位计测量实验中的水深变化情况，每台水位计相邻距离为0.4 m。

图4试验示意

实验过程中通过图片分析来确定单颗粒泥沙是否起动，且全程拍摄记录颗粒的运动过程。重复5组以消除试验偶然性，完成该工况5次重复试验数据测量后，则为1个工况试验完成。完成1个工况试验后，待水面静止，更换底板或者更换小球，再进行下1个工况造流，重复上述步骤完成下1个工况试验。为了减少随机性带来的误差，每个工况重复试验3次。如表1所示，通过组合不同的床面度率和粒径，共设计9种工况。

表1 试验工况

4、参数确定

4.1 CD的参数确定

根据白玉川[17]研究结果，纵向相对暴露度会影响水流结构，改变作用在单颗粒泥沙上的水流作用力系数，且Re*对CD的影响可以忽略不计。通过三维单颗粒泥沙起动试验发现，垂向暴露度也会改变单颗粒泥沙所受单向主流，作用在单颗粒泥沙上的上举力系数和拖曳力系数会发生变化。

首先确定拖曳力系数CD,采用白玉川[17]公式的形式：

式中：CD0为不考虑Δ′Z影响，水流对泥沙颗粒产生的拖曳力系数，一般取0.4[4];CX为Δ′Z对CD的影响附加项；a1～a4为系数项。

图5为相同相对暴露度0.292 89下CD与Re*的关系。随着颗粒雷诺数Re*增加，CD呈现减小的趋势，但是减小幅度较小。考虑到本试验为三维模型，研究认为Re*对CD的影响较小，但无法忽略。

图6给出了当Re*在6 500～17 500范围内时，拖曳力系数CD随相对暴露度Δ′Z的变化情况。结果表明，Re*一定，且Δ′Z小于0.6时，CD总体上呈现随着Δ′Z增大而增大的趋势，当Δ′Z大于0.6时，Δ′Z呈现平稳且下降的趋势。

对Δ′Z与CD进行非线性回归拟合，并加入颗粒雷诺数项Re*,可回归出下式：

试验结果表明，颗粒雷诺数Re*=6 500～17 500范围内时，Δ′与CD函数关系较好，说明水流作用在单颗粒泥沙上的拖曳力随着Δ′Z的非线性程度变化而变化。

图5CD与Re*关系

图6CD与Δ′Z关系

4.2 CL的参数确定

白玉川[15]提出的相对暴露度Δ′Z影响下的CL公式：

式中：CLO为不考虑相对暴露度Δ′Z时，水流对泥沙颗粒产生的上举力系数，一般取值0.1[4];CZ为Δ′Z对CL的影响附加项；b1～b6为系数项。

图7给出了Re*与CL的关系。可以看出随着颗粒雷诺数Re*增大，CL系数呈现减小的趋势，减少幅度较小。图8给出了Re*范围在6 500～17 500时，上举力系数CL随着Δ′Z增大而变化的情况。可以看出CL的变化趋势与CD相同，当Δ′Z不断增大，CL一直呈现增大的趋势，在Δ′Z大于0.6之后趋于平缓。

图7CL与Re*关系

图8CL与Δ′Z关系

对Δ′Z、Re*与CZ进行非线性回归拟合，可得：

试验结果表明，当Re*范围在6 500～17 500时，CZ与Δ′Z的函数关系较好，说明水流作用在单颗粒泥沙上产生的上举力随着Δ′Z的非线性程度变化而变化。

将式(19)代入式(17)可得CL最终表达式：

综上所述，垂向相对暴露度改变了单颗粒泥沙所受的力臂大小，单颗粒泥沙受到单向主流作用的面积也随之改变。影响主要表现在CD与CL的变化上，当Δ′Z小于一定数值时，上举力系数与拖曳力系数均随垂向相对暴露度的增大而增大；当垂向相对暴露度大于一定数值时，拖曳力系数有逐渐减小的趋势，而上举力系数则趋于平缓。

5、结果讨论

5.1 公式验证

通过理论推导与试验得到了垂向相对暴露度影响下的起动流速公式。为了验证公式合理性，利用韩其为、何明民[6]于四川岷江五通桥茫溪河进行的卵石起动实测资料，对式(12)进行验证。

图9验证对比

如图9所示，本文推求的泥沙起动公式(12)计算值与实测值吻合良好，R2为0.720 1。结果表明，泥沙起动过程中，受到垂向相对暴露度Δ′Z的影响明显，印证了韩其为[4]的观点，不论均匀沙与非均匀沙，影响其起动的除颗粒本身特性外，主要是作用在其上流速的大小与颗粒本身暴露的程度，在计算泥沙起动时，利用考虑垂向相对暴露度影响的泥沙起动公式并将其推广到三维情况，可以更准确的计算出泥沙起动流速。

5.2 垂向相对暴露度作用下的泥沙起动流速分析

根据本文试验数据，在恒定流作用下，通过改变糙度测量粒径D1为2.0 cm、3.0 cm、4.0 cm的单颗粒泥沙在不同垂向相对暴露度Δ′Z下的起动流速u1,u1选取起动临界水流的底部瞬时流速，下面对u1与Δ′Z、D1的关系进行分析。

图10给出了Δ′Z相同的情况下，不同D1的u1情况。结果表明Δ′Z为0.292 89时，u1随着D1的增大而增大。Δ′Z相同时，单颗粒泥沙u1与D1成正相关。

图10u1与Δ′Z关系

图11u1与D1关系

图11给出了Δ′Z不同的情况下，u1与Δ′Z的关系。在粒径不变时，u1随着Δ′Z的增加而增加。从图11可得出，随着Δ′Z增大，单颗粒泥沙起动所受的阻力也会增大，阻碍单颗粒泥沙起动，使单颗粒泥沙的u1增大。同时从图11还可以得出，D1越大，受到Δ′Z的影响就越大。D1为0.02 m的单颗粒泥沙随着Δ′Z增加，u1大幅增加；D1为0.03 m的单颗粒泥沙随着Δ′Z增加，u1增加较小；D1为0.04 m的单颗粒泥沙受到Δ′Z的影响非常小，u1增加较小。

综上所述，作用在单颗粒泥沙上的起动临界底部水流流速随着粒径的增加而增加。起动临界底部流速受到垂向相对暴露度的影响，垂向相对暴露度改变了作用在单颗粒泥沙上单一方向的主流，对泥沙起动有阻碍作用。在相同粒径情况下，垂向相对暴露度越大，作用在单颗粒泥沙上的起动临界底部水流流速就越大；粒径越小，作用在单颗粒泥沙上的临界底部水流流速受到垂向相对暴露度影响就越大。

6、结论

基于泥沙起动临界状态下的滚动不稳定机制，对单颗粒泥沙起动进行受力分析，修正了泥沙起动的临界底部流速公式，并通过物理模型试验获取流速数据，探讨垂向相对暴露度影响下的上举力系数附加项和拖曳力系数附加项的变化规律，分析垂向暴露度对单颗粒泥沙起动的影响，主要结论如下：

(1)基于泥沙颗粒三维空间受力分析，推导了泥沙单颗粒起动临界底部流速公式。研究发现，垂向相对暴露度会改变单颗粒泥沙所受到的力臂大小，直接影响作用在单颗粒泥沙上的上举力和拖曳力大小，对单颗粒泥沙起动有阻碍作用。

(2)通过恒定流作用下的单颗粒概化泥沙模型试验，拟合了考虑垂向相对暴露度影响的拖曳力系数附加项和上举力系数附加项。试验结果表明，颗粒雷诺数一定时，垂向相对暴露度增加会导致拖曳力系数与上举力系数增加；当垂向相对暴露度增加到一定数值以上时，拖曳力系数与上举力系数有减小和趋于平缓的趋势。

(3)通过对比验证，发现本研究推导得到的泥沙起动临界水流底部流速公式计算结果与韩其为的实测资料吻合度良好，进一步说明了垂向相对暴露度会对泥沙起动产生影响，该公式能很好的反应泥沙的临界起动条件。

参考文献:

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基金资助:国家重点研发计划项目(2021YFB2601100); 湖南省杰出青年科学基金项目(2022JJ10047); 国家自然科学基金面上项目(52271257);

文章来源:边城,陈杰,蒋昌波,等.恒定流作用下泥沙垂向相对暴露度试验研究[J].泥沙研究,2024,49(05):17-24.