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大学物理中关于驻波教学体会分析

2020-08-12 496 上传者：管理员

摘要：驻波一直是大学物理课程讲授的重点和难点之一.本文通过具体的推理,说明了驻波中“驻”的三层含义:没有波形的定向传播,没有相位的传播,以及没有能量的定向传播.同时总结了在讲授驻波过程中用到的一些具体案例.通过推理和案例教学,加深学生对驻波理论和物理图像的理解,提升学生利用课堂知识解决实际问题的兴趣和能力.

关键词：
大学物理
案例
物理教学
物理课程
驻波
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驻波是大学物理课程中振动和波动部分的重要内容之一.而这一部分内容对于学生而言,往往不容易理解和掌握,属于教学难点.

在介绍驻波之前,已经讲授了波的叠加和干涉,驻波由两列满足特定条件的相干波叠加而成[1,2,3,4,5].生活中有很多现象都属于驻波,例如乐器属于驻波系统,建筑物和桥梁的设计也与驻波密切相关.如何能透过表象看到物理本质,如何能把理性的物理公式和感性的生活认知联系起来,则需要教师加以引导,尤其是需要通过简单有效并且生活化的实例[6]来加强学生对这一部分内容的直观感受.因此这一部分除了理论讲解,还需要安排让学生易于接受并且观察后有真实感受的课堂演示实验和应用实例.

1、理论

驻波中之“驻”字,与其字义“停留”相关.对驻波的理解,关键要理解“驻”的三层含义:一是没有波形的定向传播,二是没有相位的传播,三是没有能量的定向传播.

驻波是由频率相同、振动方向相同,振幅也相同的沿相反方向传播的两列简谐行波相干叠加而成的.设两列波沿x轴传播,其波函数可以分别表示为

y1=Acos(ωt−2πλx+φ1)y1=Acos(ωt-2πλx+φ1)(1)

y2=Acos(ωt+2πλx+φ2)y2=Acos(ωt+2πλx+φ2)(2)

其中A为振幅,ω为圆频率,λ为波长,φ1和φ2分别为坐标原点处质元的初相位.

式(1)与式(2)相加可以得到x处质元的合振动,也就是驻波的表达式为

y驻=y1+y2= 2Acos(2πλx+φ2−φ12)cos(ωt+φ1+φ22)= 2A∣∣cos(2πλx+φ2−φ12)∣∣cos(ωt+φ1+φ22+0或π) (3)y驻=y1+y2= 2Acos(2πλx+φ2-φ12)cos(ωt+φ1+φ22)= 2A|cos(2πλx+φ2-φ12)|cos(ωt+φ1+φ22+0或π) (3)

下面利用该驻波表达式说明驻波中“驻”的三层含义.

1.1 驻波中没有波形的定向传播

式(3)中2Acos(2πλx+φ2−φ12)2Acos(2πλx+φ2-φ12)为振幅因子,显然,振幅仅与质元的位置坐标x有关,与时间t无关.

当∣∣cos(2πλx+φ2−φ12)∣∣=1|cos(2πλx+φ2-φ12)|=1,即时,振幅最大,称为波腹;当∣∣cos(2πλx+φ2−φ12)∣∣=0|cos(2πλx+φ2-φ12)|=0,即时,振幅为零,称为波节.

图1为不同时刻(t1<t2<t3<t4<t5)的驻波演化示意图.图中A1、A2和A3为波腹,N1、N2、N3和N4为波节.相邻两个波腹或相邻两个波节之间的距离均为λ/2,而相邻的波腹和波节之间的距离是λ/4.

图1不同时刻驻波的演化示意图(t1<t2<t3<t4<t5)

由以上讨论可以看出,当两子波波函数确定后,叠加形成的驻波其振幅的分布是恒定的,与时间无关,即确定位置的质元具有确定的振幅,因此驻波中没有波形的定向传播,这便是“驻”的第一层含义.

1.2 驻波中没有相位的传播

式(3)中cos(ωt+φ1+φ22+0或π)cos(ωt+φ1+φ22+0或π)为相位因子,其中的0或π取决于振幅因子的正负.振幅因子为正时取0,否则取π.

在两个相邻的波节之间(比如N1和N2),当−λ4−λ4π(φ2−φ1)+kλ<x<λ4−λ4π(φ2−φ1)+kλ-λ4-λ4π(φ2-φ1)+kλ<x<λ4-λ4π(φ2-φ1)+kλ时,−π2+2kπ<2πλx+φ2−φ12<π2+2kπ-π2+2kπ<2πλx+φ2-φ12<π2+2kπ,此时2Acos(2πλx+φ2−φ12)>0,因2Acos(2πλx+φ2-φ12)>0,因此,t时刻的相位为ωt+φ1+φ22+0ωt+φ1+φ22+0,与质元的位置坐标x无关.这表明,处于这两个相邻的波节之间的所有质元,同一时刻的相位均相等.

同理,在波的前进方向上,取紧邻上述两相邻波节的另两个相邻波节(比如N2和N3),此时λ4−λ4π(φ2−φ1)+kλ<x<3λ4−λ4π(φ2−φ1)+kλλ4-λ4π(φ2-φ1)+kλ<x<3λ4-λ4π(φ2-φ1)+kλ,即π2+2kπ<2πλx+φ2−φ12<3π2+2kπ,2Acos(2πλx+φ2−φ12)<0π2+2kπ<2πλx+φ2-φ12<3π2+2kπ,2Acos(2πλx+φ2-φ12)<0,因此,t时刻的相位为ωt+φ1+φ22+πωt+φ1+φ22+π.也就是说,处于这两个相邻波节之间的所有质元在同一时刻的相位均相等,同样与质元的位置坐标x无关.

从以上分析可以看出,驻波两相邻波节之间各点在同时刻相位相同,同一波节两侧各点在同时刻相位相反.从图1的驻波演化示意图可以看出,在任意相邻的两个波节(如N1和N2)之间的所有质元都同起同落,它们同时经过平衡位置朝相同的方向运动,又同时到达同向的最大位置.在任一波节(如N2)两侧的质元此起彼落,当A1和N2之间的质元向下振动时,N2和A2之间的质元一定向上振动,这两段的质元步调始终相反.因此驻波中没有相位的传播,这是“驻”的第二层含义.

1.3 驻波中没有能量的定向传播

下面以固体棒中的驻波为例,分析驻波的能量特点.驻波中各质元的动能密度wk和势能密度wp分别为:

wk=12ρ(∂y驻∂t)2= 12ρ[−2ωAcos(2πλx+φ2−φ12)sin(ωt+φ1+φ22)]2= 2ρω2A2cos2(2πλx+φ2−φ12)sin2(ωt+φ1+φ22)=wp=12Y(∂y驻∂x)2= 12ρu2[−22πλAsin(2πλx+φ2−φ12)cos(ωt+φ1+φ22)]2= 2ρω2A2sin2(2πλx+φ2−φ12)cos2(ωt+φ1+φ22) (4)wk=12ρ(∂y驻∂t)2= 12ρ[-2ωAcos(2πλx+φ2-φ12)sin(ωt+φ1+φ22)]2= 2ρω2A2cos2(2πλx+φ2-φ12)sin2(ωt+φ1+φ22)=wp=12Y(∂y驻∂x)2= 12ρu2[-22πλAsin(2πλx+φ2-φ12)cos(ωt+φ1+φ22)]2= 2ρω2A2sin2(2πλx+φ2-φ12)cos2(ωt+φ1+φ22) (4)

其中Y是杨氏模量,ρ是质量密度,波速u=Yρ−−√.u=Yρ.

在一个波节和相邻的波腹之间,即当λ4−λ4π(φ2−φ1)+kλ2<x<λ2−λ4π(φ2−φ1)+kλ2λ4-λ4π(φ2-φ1)+kλ2<x<λ2-λ4π(φ2-φ1)+kλ2时,驻波中所有质元的总能量为

W=∫λ2−λ4π(φ2−φ1)+kλ2λ4−λ4π(φ2−φ1)+kλ2∫λ4-λ4π(φ2-φ1)+kλ2λ2-λ4π(φ2-φ1)+kλ2(wk+wp)Sdx=14ρSλω2A2(wk+wp)Sdx=14ρSλω2A2(5)

其中,S是棒的横截面积.显然,W与x和t无关.也就是说,驻波中任一波节和相邻的波腹之间的总能量不随时间改变,不发生能量的向外传播.比如,在图1中的t1时刻,N1节点处的质元处于平衡位置,动能为零,势能最大,而A1腹点处的质元在最大位置,动能为零,势能为零;在驻波由t1经t2到达t3的过程中,N1节点处质元的动能始终为零,但势能逐渐减小至零,而A1腹点处的质元势能始终为零,但动能逐渐增为最大.这表明,驻波中的能量不断由波节附近集中到波腹附近,再由波腹附近又逐渐集中到波节附近,但始终只发生在相邻的波节和波腹之间.相邻波节和波腹处动能和势能的相互转换也可由定量计算证明[7].因此驻波中没有能量的定向传播,这是“驻”的第三层含义.

以上分别从振幅、相位和能量三个方面分析了驻波中“驻”的三层含义.

2、课堂演示和应用举例

教师可以带一根皮筋绳,一端利用教室门把手固定,另外一端手持,利用教鞭敲击,通过控制敲击频率和力度呈现不同的驻波波形,如图2所示.由于皮筋绳可以很长,产生的驻波效果易于学生观察,能有效吸引学生的注意力,极大调动学生学习驻波的积极性.通过这样的实物演示引入,不仅激发了学生对于驻波的兴趣,而且学生对于驻波的特点也有了初步印象.

图2利用皮筋绳演示驻波

将皮筋绳与固定的振动发生器相连即可形成简单的驻波演示仪,相对比较精确地演示驻波形貌,如图3所示,图中绳的频率、绳的松紧可调,用频闪仪照射皮筋绳还可以让学生清楚地分辨出不同时刻绳的振动状态.演示中引导学生观察绳上各质元的振动状态,有没有波形的定向传播,体会驻波区别于行波的明显特点,激发学生求知欲,使学生对于驻波的特点有进一步的感性认识.

图3利用驻波演示仪演示驻波

在定性讲解了固定弦上的驻波的基本形貌后,再次利用驻波演示仪,引导学生观察驻波的特征,比如各处振幅的不同,波腹与波节的位置等;通过调节振动频率观察同一弦线上包含不同数目的波节和波腹的驻波形态,进一步通过调节弦线的松紧引起基频的变化引导学生理解张力对本征频率的影响.实验中通过对基频、谐频的观察,引导学生对现象进行归纳总结,使学生对于本征频率中的“量子化”有初步的认识.

很多乐器比如弦、管、锣、鼓等实质上都是驻波系统,它们各自按照对应的简正模式振动并发生共振,特定音色(谐频)的音调(基频)随之产生.在“弦上的驻波”理论内容讲授之后,教师可以带一把吉他,分别通过调节弦钮[图4(a)]、弦的有效长度[图4(b)],以及对比弦的粗细[图4(c)]使乐器展现出不同的音调让学生真实地体会影响本征频率的因素.

弦上的驻波属于一维驻波,进而还可以给学生介绍一些二维的驻波,比如鼓,当鼓皮以某一模式振动的时候,可以在上面撒些碎屑[8],在不振动的地方就会聚集一些碎屑,从而呈现出二维驻波的波节图像.鱼洗盆也是二维驻波有代表性的例子之一.当手对盆耳的摩擦频率与铜盆的固有频率接近时可以产生共振,铜盆的振动在水里传播,由于盆底和盆壁的限制,会产生反射波,由于盆壁上入射波与反射波相互叠加而形成驻波,这与弦乐器的发声原理相似.除了机械波可以形成驻波,电磁波也可以形成驻波,微波炉就利用了电磁驻波.

图4吉他中对本征频率的调节

在对以上内容的讲授中,可以结合PPT,以及配合适当的动画演示,动画可以使驻波鲜活起来,抽象变形象.由此不仅可以加深学生对驻波的认识,同时让学生看到更多的驻波在实际生活中的应用.

驻波也有两面性,在提及驻波的危害时,可以播放Tacoma大桥的倒塌视频,引导学生理解在桥梁和建筑设计中需要考虑驻波因素,认同物理学在生产实际中的应用.

关于驻波在科学研究中的应用,可以引导学生关注科技发展的前沿动态,主动利用互联网查阅资料.论文《Reconfigurableopticalassemblyofnanostructures》[9]讲述了利用光驻波控制热和光力,在不同的三维结构中排列纳米颗粒.这种新一代的可编程复合材料,用于可调超材料、数据存储和传感器.通过这篇具体的文献,让学生有兴趣把课上的知识延拓到光驻波,感受到物理理论在科学研究中的应用.

3、结论

驻波属于大学物理课程教学的核心内容之一.通过对驻波这部分内容的学习,学生需要掌握“驻”的三层含义:没有波形的定向传播,没有相位的传播和没有能量的定向传播.“驻”的三层含义理解清楚了,学生就领会了驻波现象所蕴含的物理本质.

总之,驻波这部分的课程设计应符合大学低年级学生的认知规律和实际水平,由实验营造出的轻松活跃的教学氛围将有效地激发学生的学习兴趣.在本课的教学过程中,学生将有较高的积极性和情感投入,获得较为理想的学习效果,有助于实现本课程的教学目标.与本课程相关的大量的实际应用,包括乐器演奏、建筑物和桥梁设计等实例不仅能激发学生学习乐器陶冶情操,努力学习建设祖国的热情,而且增强了学生利用所学知识报效祖国的信心.

参考文献：

[1]漆安慎,杜婵英,包景东.力学[M].3版.北京:高等教育出版社,2012:349-351.

[2]程守洙,江之永.普通物理学(下册)[M].6版.北京:高等教育出版社,2006:90-95.

[3]马文蔚､解希顺､周雨青.物理学下册[M].5版.北京:高等教育出版社,2006:64-70.

[4]张三慧.大学物理学(热学､光学､量子物理)[M].3版.北京:清华大学出版社,2009:156-159.

[5]吴百诗.大学物理学下册[M].北京:高等教育出版社,2004:89-94.

[6]包景东.物含妙理——像费恩曼那样机智地教与学[M].北京:清华大学出版社,2018.

[7]郭建军.关于驻波能量的分析[J].大学物理,2005,24(5):23-25.

[8]HallidayD,ResnickR,WalkerJ.哈里德大学物理学(上册)[M].张三慧､李椿､滕小瑛,等译.滕小瑛､马廷钧､李椿,改编.北京:机械工业出版社,2009:222.

秦吉红,邱红梅,梁颖.大学物理中关于驻波教学的一些体会[J].大学物理,2020,39(08):7-10+17.

基金:北京科技大学本科教育教学改革与研究项目(JG2017M36和JG2017M35)资助.