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恒定流速场与静电场、静磁场类比分析

2020-08-12 536 上传者：管理员

摘要：本文将“物理类比法”引入大学物理电磁学部分的教学,将恒定流速场与静电场和静磁场在特征量、场的分布及其描述等方面进行了类比,使学生对电磁场有一个较清晰和全面的认识,对电磁学的理论有一个较深刻的理解和掌握,收到了较理想的教学效果.

关键词：
恒定流速场
物理教学
物理类比法
环量
通量
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“物理类比”的方法在物理学的理论研究及物理教学中得到了广泛应用[1,2].类比可以沟通不同的研究领域,可以在解析的抽象形式或假设方法之间提供媒介,可以借鉴和移植已有的数学工具和表述方式,甚至可以启发物理思想.麦克斯韦在电磁学理论的研究中,通过类比,他认为恒定流速场与静电场、静磁场都是在一定空间范围内连续分布的矢量场;一个矢量场是否有源以及是否有旋,是总体上把握矢量场特征的关键,从而使静电场和静磁场的高斯定理与环路定理从当时仅仅提供计算场的新方法上升为矢量场性质完整表述的两个基本定理[3].

在大学物理的电磁学部分的教学中,也可以采用类比的方法,借助于流体力学帮助学生建立起“场”的概念,可以让学生更生动、直观地理解通量和环量的物理意义以及电磁场的两个基本定理.以此为基础,在学习电流场、感生电场以及位移电流的磁场时就会根据这两个基本定理自己分析这些矢量场的性质,并收到了良好的教学效果.

1、流速场与静态电磁场

流速是指流体微团流经某点时的速度,而所有点的流速就构成一个流速场.不可压缩流体的稳定流动是指流体中各点的流速V可能不同,但是各点的流速都不随时间改变,即不可压缩流体的稳定流动形成恒定的流速场.静电场和静磁场是指各点的电场强度E和各点的磁场强度B可能不同,但是各点的E和B都不随时间改变.可见,它们的特征量V、E及B在空间的分布都不随时间改变.恒定流速场、静电场和静磁场都是矢量场,且都恒定不变.

2、流线、电场线和磁感应线

力线是描绘电力或磁力的大小和方向的几何曲线[3],如图1(c)所示,通过小磁针在磁场中的受力模拟的磁感应线.对于稳定流动,流线是流体微团的运动轨迹,流线的引入虽然与“力”无关,但是可以与静电场和静磁场中引入电场线和磁感应线类比,它们都是一组假想的曲线,曲线各点的切向方向是该点流速V、E或B的方向,曲线的疏密反映V、E或B的大小,并且任意两条流线、电场线和磁感应线都不相交.可见流速V与电场强度E和磁感应强度B可以类比.而流线可以与电场线和磁感应线类比.对于恒定流速场、静电场和静磁场,由于它们的V、E或B不随时间改变,因此它们的场线的分布都不随时间改变.可见力线给出了矢量场分布的形象化的物理图像,图1中(a)、(b)、(d)是3个矢量场的力线分布图.从图中可以看到,这些矢量场的姿态各异,即使同为流速场,力线的分布也相差很大.

图13个矢量场的力线分布.

3、高斯定理

对于流体,人们会比较关注流体中何处存在源和汇的问题.流体中存在流速场,∫sV⋅ds∫sV⋅ds表示单位时间从曲面S面流过的水的体积,称为流量(也叫水通量).而闭合曲面的水通量为∮sV⋅ds∮sV⋅ds,由于闭合曲面上面矢方向的特殊规定:面矢的方向总是沿面元的法向且由内向外,因此从闭合曲面流出的流量为正,反之为负.∮sV⋅ds∮sV⋅ds表示单位时间从闭合曲面“净”流出的流量.显然∮sV⋅ds>0∮sV⋅ds>0,表示从闭合曲面里单位时间流出的一定比流入的流量多,那么闭合曲面里一定有源,如图2(a)所示;∮sV⋅ds<0∮sV⋅ds<0,表示从闭合曲面里单位时间流出的一定比流入的流量少,那么闭合曲面里一定有汇,如图2(b)所示;而∮sV⋅ds=0∮sV⋅ds=0,则表示从闭合曲面里单位时间流出的和流入的一定相等,那么闭合曲面里既无源也无汇,或闭合曲面内有强度相等的源和汇.在不可压缩流体的稳定流动中,流体微团均沿着流线运动,而流线的疏密反映流速的大小,因此从流线的角度来说,通过某一曲面流量的大小可以和通过该曲面的流线的多少对应,则∮sV⋅ds∮sV⋅ds可以表示从闭合曲面里流出与流入的流量之差,也可表示穿出与穿入流线条数之差,即“净”穿出闭合曲面的流线的条数.

图2流速场的“源”和“汇”的示意图[4]

由于流速V与场强E和磁感应强度B可以类比,既然∮sV⋅ds∮sV⋅ds为闭合曲面的水通量,那么∮sE⋅ds∮sE⋅ds和∮sB⋅ds∮sB⋅ds分别表示闭合曲面的电场强度通量和磁通量,通过类比,它们的物理意义就很明显了,分别表示穿出与穿入电场线和磁感线的条数之差,即“净”穿出闭合曲面的电场线和磁感线的条数.并且对于任何一个矢量场A,∮sA⋅ds∮sA⋅ds表示该矢量场的通量,若引入场线,该通量的物理意义是“净”穿出闭合曲面的场线的条数.

真空中电场的高斯定理为∮sE⋅ds=∑s内qiε0∮sE⋅ds=∑s内qiε0,真空中磁场的高斯定理为∮sB⋅ds=0∮sB⋅ds=0.高斯定理中的闭合曲面是指任意位置处的任意形状以及任意大小的闭合曲面,磁场的高斯定理表明闭合曲面的磁通量是恒为零,即没有磁感线从闭合曲面里净穿出,亦即无论哪里都找不到磁感线的“源”和“汇”,或“头”和“尾”,因此磁感应线是无头无尾的,磁场是无源场.电场的高斯定理表明任意闭合曲面的电通量可以不为零,说明静电场是有源场.只要某闭合曲面的电通量不等于零,那么一定有电场线从该闭合曲面里净穿出或净穿入,那么闭合曲面里一定有电场线的“源”或“汇”,即“头”或“尾”,电场线的“头”和“尾”其实就是正电荷和负电荷.这说明电场线是有头有尾的曲线,可能起于正电荷(或无穷远),终于负电荷(或无穷远).

对于任何一个矢量场A,若它是有源的,可做一个闭合曲面把源或汇包围起来,则通过该闭合曲面的通量必不为零.反之,如果矢量场是无源场,即无论何处都不存在源和汇,则通过任意闭合曲面的通量必将都是零[1].因此通过∮sA⋅ds∮sA⋅ds是否恒为零可判断该矢量场是否为有源场,其场线是否为有头有尾的曲线.

4、环路定理

对于流体,也会比较关注流体中何处存在涡旋运动的问题.流体的涡旋运动是围绕一条轴线(称为涡线)进行的,涡线或者通向流体的边界或者在流体内形成闭合曲线.在流体中取任意的闭合曲线L,选择绕行方向(或积分方向),闭合曲线上任意一线元dl,令θ是V与dl的夹角,则V·dl=Vcosθdl,Vcosθ是线元处的流速V沿线元dl方向的分量,沿闭合曲线的线积分∮LV⋅dl∮LV⋅dl则表示沿该闭合曲线流速分量的线积分,称为流速V的环流或环量.若∮LV⋅dl>0∮LV⋅dl>0则表示存在与环路L绕行方向组成右手螺旋关系的涡线穿过环路,如图3所示;若∮LV⋅dl<0∮LV⋅dl<0则表示存在与环路L绕行方向相反的涡线穿过环路;若∮LV⋅dl=0∮LV⋅dl=0则表示没有涡线穿过环路,或有强度相同而方向相反的涡线穿过环路[4].

图3流速场环量的示意图[4]

由于流速V与场强E和磁感应强度B可以类比,既然∮sV⋅dl∮sV⋅dl为流速的环量,那么∮sE⋅dl∮sE⋅dl和∮sB⋅dl∮sB⋅dl分别为电场强度的环量和磁感应强度的环量.并且对于任何一个矢量场A,∮sA⋅dl∮sA⋅dl表示该矢量A的环量.

静磁场的环路定律∮LB⋅dl=μ0∑L内Ii∮LB⋅dl=μ0∑L内Ιi,即B的环量可以不为0.与恒定流速场类比,说明静磁场存在可以和“涡线”类比的东西,也就必然存在围绕“涡线”的场线,说明磁感线是涡旋状的,即磁场是有旋场.涡旋状流线可以与磁感线类比.涡线可以形成闭合曲线,而由电流的连续性方程知稳恒电流也必然是闭合的,因此涡线可以和稳恒电流类比.通过类比(稳恒电流产生静磁场),可知磁感线或者是围绕稳恒电流的闭合曲线,或者是从无穷远到无穷远的曲线(这可看成它在无穷远处闭合).也即如果闭合曲线L围绕稳恒电流,那么∮LB⋅dl≠0∮LB⋅dl≠0;如果闭合曲线L不围绕稳恒电流,那么∮LB⋅dl=0.∮LB⋅dl=0.

静电场的环路定律∮LE⋅dl=0∮LE⋅dl=0,即E的环量恒为0.通过与恒定流速场类比说明静电场不存在与“涡线”可类比的东西,也即无论在哪里也找不到类似“涡线”的东西.没有“涡线”,电场线就不可能是涡旋状,可知电场线不形成闭合线,即静电场是无旋场.

对于任何一个矢量场A,如果它是有旋的,沿着或逆着矢量场中闭合的旋涡作曲线积分,由于每一小段的线积分都是正值或负值,积分一圈的值必定为正值或负值,即环路积分不为零;反之如果是无旋的,则沿任意闭合曲线的环路积分均为零(对于静电场可以证明,电场强度沿任意闭合曲线的环路积分必定都为零)[3].因此通过∮sA⋅dl∮sA⋅dl是否恒为零可判断该矢量场是否为有旋场,或其场线是否形成闭合曲线.

5、结语

将恒定流速场与静电场和静磁场进行类比,恒定流速场的V可以与静电场E和静磁场B类比,流线可以与电场线和磁感线类比.闭合曲面的水通量的意义与电通量和磁通量的意义类比,即单位时间从闭合曲面净流出的流量与从闭合曲面净穿出的电场线和磁感应线类比,流速场的“源”和“汇”其实可以和场线的“头”和“尾”类比.流速V的环量和电场强度E和磁感应强度B的环量类比,流体的涡旋运动可以和形成闭合的场线类比.通过与恒定流速场类比,对于理解静电场的有源无旋和静磁场的无源有旋的性质十分有益.这种类比经验可以很容易地迁移到其他任何矢量场的高斯定律和环路定律的学习里,起到举一反三的效果.

参考文献：

[1]孙春峰.光学原理的力学类比[J].大学物理,2001,20(2):21-26.

[2]易丽莎.利用感应电场与磁场的相似性分析计算多种分布的感应电场[J].大学物理,1984,1(3):11-15.

[3]陈秉乾,舒幼生,胡望雨.电磁学专题研究[M].北京:高等教育出版社,2001.

[4]赵凯华,陈熙谋.新概念物理教程电磁学[M].2版.北京:高等教育出版社,2006.

吴波英,张守平,付伯桥,彭晓星,陈杰.恒定流速场与静电场､静磁场的类比[J].大学物理,2020,39(03):9-11+23.