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单光分束器中量子变换算符分析

2020-08-12 207 上传者：管理员

摘要：针对理想情况下单光分束器,得到了其对应的变换矩阵.用相干态表象和有序算符内积分技术,给出其对应的幺正变换算符.纠缠态的实验制备方案,说明单光分束器在量子信息源研究中具有十分重要的作用.

关键词：
单光分束器
变换矩阵
幺正变换
物理教学
纠缠态
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光分束器是一种最简单的无源光学元件.它在量子态的制备及量子理论等研究领域起着十分重要的作用[1].它的具体作用可以体现在3个方面:一是量子纠缠源的制备,例如对称光分束器可以制备出EPR量子纠缠态[2].二是通过光分束器的光学变换,可以产生各种量子操作,例如复分数傅里叶变换、纠缠分数傅里叶变换以及增光子或减光子操作[3].三是结合条件测量,光分束器可以模拟量子耗散,例如光分束器输入端其中一端为真空态,则可以用于模拟振幅衰减通道[4].

目前很多精密量子测量仪器构成器件中都有多个光分束器组合而成,如马赫-曾德尔干涉仪由两个光束分离器构成.马赫-曾德尔干涉仪的输入端和输入端都是由光分束器组成,它可以实现有限维的量子态操作,如量子态测量、隐形传输、纠缠度改善以及压缩度增强[5,6].多个光分束器的级联,可以看成若干个单光分束器的连续操作.因此,本文将给出单光分束器的变换矩阵显式以及量子变换算符的具体表达式.

1、单光分束器的变换矩阵

图1是单光分束器装置示意图,入射光束用玻色算符a1和a2表示,出射光束用玻色算符b1和b2表示,其对应的变换矩阵为

其中矩阵元A、B、C和D均为复数.

根据玻色算符的对易关系[bi,b+j]=δij[bi,bj+]=δij,所以可得矩阵元的满足如下关系:

|A|2+|B|2=1,|A|2+|B|2=1,

|C|2+|D|2=1,|C|2+|D|2=1,

AC*+BD*=0(2)

由式(2)可知,矩阵元的每个系数相互关联,利用I=|I|eiθI,(I=A,B,C,D)Ι=|Ι|eiθΙ,(Ι=A,B,C,D)可得

|A|⋅|C|=|B|⋅|D|, (θA−θB)−(θC−θD)=±π (3)|A|⋅|C|=|B|⋅|D|, (θA-θB)-(θC-θD)=±π (3)

图1单光分束器装置示意图

图1单光分束器装置示意图下载原图

由于对于光分束器其反射系数与透射系数均介于0与1之间,而且两者之和为1.不妨取透射系数为cos2φ,于是由式(2)可得:

结合式(2)与(4),单光分束器的变换矩阵表达为

其中

θ≡12(θA−θD), θ0≡12(θA+θD), ψ=−12(θC−θB±π) (6)θ≡12(θA-θD), θ0≡12(θA+θD), ψ=-12(θC-θB±π) (6)

光的干涉效应是由两束激光光束的相对相差而引起的,因此由单光分束器产生的整体相角θ0对干涉没有贡献,可以令其为0.对于理想的光分束器,两束入射光在分束器内不产生相位的变化,则ψ=θ=0.

对于理想的单光分束器,式(5)简化为如下变换矩阵:

因为对无损失的单光分束器,输出光子数与输入光子数相等,即

(b1+b2+)(b1b2)=(a+1a+2)R+R(a1a2)= (a+1a+2)(a1a2) (8)(b1+b2+)(b1b2)=(a1+a2+)R+R(a1a2)= (a1+a2+)(a1a2) (8)

所以R+R=I,可见变换矩阵R是幺正矩阵.

2、单光分束器的变换算符

在量子理论中,量子态的幺正变换一般都有与之对应的变换算符.因此本节将利用量子力学表象理论以及有序算符内的积分技术,推导单光分束器变换算符的具体形式.

根据前面变换矩阵的分析,单光分束器算符对应的变换为

其中UBS为待求的单光分束器变换算符

设单光分束器输入端分别输入相干态|α1〉和|α2〉,则输出量子态为

|out⟩=UBS|α1⟩|α2⟩|out〉=UBS|α1〉|α2〉(10)

其中|αi⟩=exp(−12|αi|2+αia+i)|0⟩,(i=1,2)|αi〉=exp(-12|αi|2+αiai+)|0〉,(i=1,2)为相干态[7].

对于式(10)右边的形式,可以改写为

UBS|α1⟩|α2⟩≡UBS|(α1α2)⟩= exp[−12(α1α2)(α∗1α∗2)+(a+1a+2)R′(α1α2)]|00⟩ (11)UBS|α1〉|α2〉≡UBS|(α1α2)〉= exp[-12(α1α2)(α1*α2*)+(a1+a2+)R′(α1α2)]|00〉 (11)

因为矩阵R′为实矩阵,所以式(11)可以简写为

注意到相干态的超完备性:

∫d2αiπ|αi⟩⟨αi|=1∫d2αiπ|αi〉〈αi|=1(13)

则幺正算符UBS在相干态表象中可以表示为

利用有序算符内的积分技术[8]:

|00〉〈00|=:exp(−a+1a1−a+2a2)exp(-a1+a1-a2+a2):(15)

对式(14)积分,可得单光分束器的变换算符的正规乘积形式:

UBS=:exp[(cosφ−1)(a+1a1+a+2a2)+ (a+1a2−a1a+2)sinφ]: (16) UBS=:exp[(cosφ-1)(a1+a1+a2+a2)+ (a1+a2-a1a2+)sinφ]: (16)

上式UBS对参数φ求导,可得

∂UBS∂φ=∂UBS∂φ=:[−sinφ(a+1a1+a+2a2)+cosφ(a1a+2−a+1a2)]UBS[-sinφ(a1+a1+a2+a2)+cosφ(a1a2+-a1+a2)]UBS:=:-a+1a1UBSsinφ:-:a+2a2UBSsinφ:+:a1a+2UBScosφ:-:a+1a2UBScosφ:(17)

注意到算符UBS是正规乘积形式,所以式(17)可进一步变换为

其中第一个等式利用了正规排序的性质,将湮没算符a1与a2移至:UBS:的右侧,然后在第二个等式中去掉了正规乘积的符号::,最后一个等式变形利用了算符UBS的幺正性UBSUBS-1=1.

考虑到式(9)的变换,式(18)可化简为

∂∂φUBS=[(−a+1sinφ+a+2cosφ)(a1cosφ+a2sinφ)− (a+2sinφ+a+1cosφ)(a2cosφ−a1sinφ)]UBS= (a1a+2−a+1a2)UBS (19)∂∂φUBS=[(-a1+sinφ+a2+cosφ)(a1cosφ+a2sinφ)- (a2+sinφ+a1+cosφ)(a2cosφ-a1sinφ)]UBS= (a1a2+-a1+a2)UBS (19)

积分式(19),得到单光分束器的变换算符的紧指数形式为

UBS=exp[φ(a1a+2−a+1a2)]UBS=exp[φ(a1a2+-a1+a2)](20)

3、单光分束器的制备纠缠态

如果光分束器的反射系数与透射系数相等,则很容易确定参数φ=π/4.因此式(20)中的变换算符变为

UBS|θ=π/4=exp[π4(a1a+2−a+1a2)]UBS|θ=π/4=exp[π4(a1a2+-a1+a2)](21)

当入射光取两个正交方向的压缩真空态,即

|p=0⟩1=π−1/4exp(12a+21)|0⟩1|p=0〉1=π-1/4exp(12a1+2)|0〉1(22)

和

|x=0⟩2=π−1/4exp(−12a2+2)|0⟩2|x=0〉2=π-1/4exp(-12a2+2)|0〉2(23)

则单光分束器的输出量子态为

式(24)的最后一项是连续纠缠态表象在η=0时的情形.对单光分束器的输出量子态用平移算符D(η)=exp(ηa+−η∗a)D(η)=exp(ηa+-η*a)作用,则得到

|η⟩=D(η)|η=0⟩= π−1/2exp(−12|η|2+ηa+1−η∗a+2+a+1a+2)|00⟩ (25)|η〉=D(η)|η=0〉= π-1/2exp(-12|η|2+ηa1+-η*a2++a1+a2+)|00〉 (25)

此结果与文献[2]中的结论完全一致.

4、结论

光分束器是一种应用十分广泛的光学线性器件.它可以对输入光的量子态进行叠加和纠缠.本文在单光分束器无附加相移和输入光子与输出光子数保持不变的理想情况下,得到了其对应的幺正变换矩阵.进一步,借助于有序算符内的积分技术和相干态表象的超完备性,得到了单光分束器对应的量子变换算符,同时给出了其紧指数形式.最后,利用对称光分束器,通过两个正交方向的压缩真空态,给出制备纠缠态的实验方案.从本文研究可以发现,无论在实验研究还是理论分析中,单光分束器对应的幺正变换都具有重要的应用价值.

参考文献：

[1]贾芳,张魁正,胡银泉,等.级联光束分离器的纠缠特性及其应用[J].物理学报,2018,67(15):150301.

[2]范洪义.量子力学纠缠态表象[J].大学物理,2003,22(5):13-14,21.

[3]徐秀玮,,朱友良,郭春,等.广义线性量子变换在相空间的新表示[J].大学物理,2008,27(2):19-21.

[4]范洪义,何锐.介观RLC电路的密度矩阵的量子耗散[J].物理学报,2014(11):110301-1-110301-6.

[5]王帅,裴明旭,朱小芹.光学Mach-Zehnder干涉仪的宇称测量研究[J].大学物理,2018,37(12):30-32+36.

[6]姚建永,张森.光纤Mach-Zehnder干涉仪系统[J].大学物理,2008,27(5):37-40,43.

[7]任刚,杜建明,余海军,等.相干态在算符正规排序中的应用[J].大学物理,2017,36(2):18-19+33.

[8]任刚,杜建明,张文海.高斯积分在量子表象理论中的应用[J].大学物理,2019,38(3):4-6.

任刚,杜建明,余海军,张文海.单光分束器的量子变换算符研究[J].大学物理,2020,39(03):1-3.

基金:安徽省教育厅自然科学基础(KJ2019A0688);安徽省省级教研项目(2018mooc125)资助.