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浅谈利用非线性系统进行多模型扩展Kalman滤波器改进

2020-04-30 303 上传者：管理员

摘要：本文针对一类状态方程包含线性部分与非线性部分，测量方程是线性的系统，提出了一种基于系统模型拆分的多模型扩展卡尔曼滤波算法。基于现有方法，提出了改进的多模型扩展卡尔曼滤波方法，根据状态方程把原系统拆分为线性子系统与非线性子系统，在在时间更新阶段，使用卡尔曼滤波算法对线性子系统进行预测，使用改进的多模型扩展卡尔曼滤波算法对非线性子系统进行预测。在测量更新阶段，对非线性子系统与线性子系统的预测值进行校正，主要通过交替式更新的方法进行，对两类方法处理非线性系统滤波问题的性能进行对比分析。

关键词：
交替式更新
多模型扩展卡尔曼滤波
系统拆分
非线性滤波
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1、引言

使用传统的卡尔曼滤波算法求解线性系统的状态估计问题时，能够取得最小均方误差意义下的最优估计，而且它是一种递推的滤波算法[1]。但是他的使用条件也相对严格，系统噪声必须服从零均值的高斯分布，而且系统模型必须是线性的。在现实生活中，系统模型大多是非线性的[2~5]，如通讯、卫星定位、导航与雷达等。为此，人们提出了多种非线性滤波方法。如，无迹卡尔曼滤波(UKF)[6,7]、扩展卡尔曼滤波(EKF)[8,9]。其中，无迹卡尔曼滤波是一种对后验概率密度近似而得到的一种次优滤波算法，它的核心是UT变换，UT变换是一种计算非线性变换中随机变量统计特性的有效方法。其基本思路是根据随机向量的统计特性，采用对称采样的策略，选取一系列Sigma采样点，然后确定这些采样点运算后的中心点，运算后各点距离中心的距离，以及相应的权值，进行加权平均求和，从而进行滤波。而扩展卡尔曼滤波是一种系统模型函数近似方法，通过保留非线性模型泰勒展开的一阶项，对原系统做近似线性化处理，再使用卡尔曼滤波器进行滤波。当然，它也存在着许多问题，如线性化处理时舍去高阶项所带来的误差而使滤波发散[10]，克比矩阵计算量过大[11]，平稳状态突变时跟踪能力变弱甚至丢失等[12]。面对这些问题，人们在扩展卡尔曼滤波基础上又做了很多改进来提高滤波精度，例如，保留泰勒展开式的二阶项，降低近似化而带来的误差[13]。多模型扩展卡尔曼滤波(MMEKF)算法[14]通过选取多个概率加权点来表示整个状态空间，使概率小的点也可以用于近似化，最终变成多模型状态估计问题，他把泰勒展开式保留到一阶项，降低了状态方程与测量方程线性化之后的误差。通常估计值是我们选取所有点中概率最大的，但是概率小的点也有可能是效果最好的点，所以多模型扩展卡尔曼滤波算法选取的最优点用选取的一组概率点乘以它们的权重代替，降低了只选取概率较大的点而忽略了概率较小的点而带来的误差，滤波效果比扩展卡尔曼滤波算法效果更好。但是上述非线性滤波方法都是直接对系统模型进行处理。当系统模型中状态方程包含线性部分与非线性部分时，多模型扩展卡尔曼滤波可以很好的对非线性部分进行滤波，但对线性部分的滤波就难以满足线性最小均方误差意义下的最优性能。这是本文工作的主要出发点之一。

本文针对一类状态方程包含线性部分与非线性部分，测量方程是线性的系统，提出了一种基于系统模型拆分的多模型扩展卡尔曼滤波算法。其主要思想是在现有方法上提出了一种基于多模型卡尔曼滤波的新方法。时间更新阶段，在每个扩展点上，把线性子系统用卡尔曼滤波进行一步预测，非线性子系统用改进的多模型扩展卡尔曼滤波进行一步预测求和；在测量更新阶段，对每个扩展点运用交替式融合的方式逐步对线性子系统与非线性子系统校正，进而求得系统状态的估计值，对每个扩展点加权求和得到全局估计。数值仿真表明，基于系统模型拆分的多模型扩展卡尔曼滤波算法滤波效果优于改进的多模型扩展卡尔曼滤波算法。

2、系统描述

考虑如下非线性系统的状态方程：

3、改进的多模型扩展卡尔曼滤波算法

(IMMEKF)在扩展卡尔曼滤波中，把1k?时刻的状态估计值作为最优值进行迭代求取k时刻的状态估计值，然而1k?时刻的状态估计值并不一定是最优的，状态估计值附近的值也有可能是最优的，因此，可以设计一种模型集，进而选取多个1k?时刻状态估计附近的点来求k时刻的状态估计，使概率小的值也可以被选出。模型集的设计：首先，假设1k?时刻的状态服从正态分布，把状态分布的连续累积分布函数转化为相应的离散累积分布函数[15,16]，可以求出N个1k?时刻估计值附近的扩展点，即：

通过对模型集的设计，我们可以选择k-1时刻估计的多个扩展点对k时刻的状态进行预测，可以看到原来的非线性估计问题变成了多模型估计问题[17]。改进的多模型扩展卡尔曼滤波迭代过程如下：时间更新：

注1:文献[14]所介绍的多模型卡尔曼滤波方法，在状态更新时，对每个k–1时刻的估计值的扩展点求取预测，加权平均得到总的预测值。观测更新时，对总预测的扩展点求取估计，加权平均得到总的估计值。而改进的多模型扩展卡尔曼滤波在状态更新时对求得的每个扩展点的预测并未加权求和，得到多个预测值。观测更新时，对每个预测值再进行扩展并求得每个扩展点的估计值，最终加权求和得到总估计。改进的多模型扩展卡尔曼滤波算法不仅在状态更新时选取多个扩展点进行求预测，而且在观测更新时在每个扩展点的基础上进而扩展，增加了概率点小的点被选出的可能性。

4、基于系统模型拆分的多模型扩展卡尔曼滤波算法(SMMEKF)

针对(1)式所示系统，把k–1时刻的状态估计值带入到系统模型拆分后的线性子系统，得到线性子系统的预测为：

上述测量更新过程只完成了对第i个扩展点非线性子系统的预测值进行校正。在所得估计值的基础上，对第i个扩展点的线性子系统进行校正，通过交替式更新方法对上述估计值进行滤波，则：

在上一步对非线性子系统校正时已得到非线性子系统的估计值，所以对线性子系统更新时只需要对线性子系统进行校正，进而实现对线性子系统与非线性子系统的测量更新，同时得到原系统状态第i个扩展点的估计。对N个扩展点的估计与估计误差协方差分别进行加权求和的到全局估计与全局估计误差协方差：

5、仿真实验

表1N=3时的标准正态分布质量点；表2N=5时的标准正态分布质量点

使用上述系统分别对改进的多模型扩展卡尔曼滤波算法(IMMEKF)与本文提出的基于系统模型拆分的多模型扩展卡尔曼滤波算法(SMMEKF)进行仿真，仿真结果，如图1~2所示。

图1N=3时IMMEKF与SMMEKF的估计误差值对比；图2N=5时IMMEKF与SMMEKF的估计误差值对比

通过图1可以发现基于系统模型拆分的多模型扩展卡尔曼滤波算法求得的误差比改进的多模型扩展卡尔曼滤波算法求得的误差更小。这是因为多模型扩展卡尔曼滤波算法将状态方程的线性部分与非线性部分作为一个整体（非线性方程）进行泰勒展开，并使用多模型扩展卡尔曼滤波算法进行时间预测，加权求和求得全局预测。在测量更新时使用的是在全局预测选取多个扩展点，使其与各自相应的权值相乘求和。而本文提出的方法在系统模型拆分的基础上，对每个扩展点的线性子系统部分用卡尔曼滤波算法进行预测，对非线性子系统部分用改进的多模型扩展卡尔曼滤波算法进行预测，在测量更新时分别对每个扩展点的线性子系统和非线性子系统进行校正，首先对非线性子系统进行校正，然后采用交替式更新的方式对线性部分进行校正，最终对每个扩展点的估计加权求和。所以本文算法的估计值较多模型扩展卡尔曼滤波算法更加接近真实值，误差更小。而且从图1和图2中可以看出，选取的标准正态分布质量点越多，仿真的效果就会越好。

6、结论

针对一类非线性系统（状态方程包含线性部分与非线性部分、测量过程用线性方程描述），提出了一种基于系统模型拆分的多模型扩展卡尔曼滤波算法。主要思想是在现有方法的基础上提出了一种改进的多模型扩展卡尔曼滤波方法。在此基础上先依据状态方程将原系统拆分为线性子系统与非线性子系统；然后分别对线性子系统与非线性子系统进行时间更新，得到每个扩展点的状态预测结果；再采用交替式更新的方式对系统进行测量更新，以得到每个扩展点的估计结果，然后对每个扩展点的估计加权求和得到全局估计。传统多模型扩展卡尔曼滤波将线性子系统与非线性子系统作为一个整体的非线性系统进行滤波。与之相比，本文方法能够更优的处理线性子系统的滤波过程，因而能够提高整个系统的滤波精度。

宁子健,冯肖亮,文成林.非线性系统的改进多模型扩展Kalman滤波器[J].控制工程,2020,27(2):342-346.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(61673160,61605026,U1604158,U1804163).