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电阻率测井中有限差分法的应用研究

2020-07-04 189 上传者：管理员

摘要：利用有限差分法建立二维模型，通过利用傅里叶变换将磁偶极子源沿激发方向变换为一组线电流源，将问题变为频域问题，在数学上进行简化，减少了大量未知数，降低计算成本。

关键词：
Maxwell方程
工程数学
有限差分法
未知数
电磁场
计算成本
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1、构建有限差分模型

假设电磁波沿y轴方向均匀传播，则一般的导波结构可以表示为

公式1

公式2

为了抵消时间变化因子ejωt，式（1）与（2）中沿y方向的导数使用来代替，本文以下关于y方向的导数都用-jk来表示。

已知麦克斯韦方程

公式3

公式4

对电磁场分量进行归一化则可以得到

公式5

公式6

式中为波数，ω为角频率，ε0=8.854×10-12(S/m）为真空中的介电常数，μ0=4π×10-7(H/m）为真空中的磁导率，η0=μ0×ν0为自由空间中的波阻抗，ν0=3.0×108(m/s）为真空中的光速，为相对介电常数张量。

通过沿传播方向方向进行傅里叶变换，将场矢量和源矢量从时域转换为频域，将三维问题转化为二维问题，有限差分法使用Ex,Ev,Ez和Ex,Ev,Ez分量对2D空间中的磁（或电）偶极子的场进行建模。

对函数进行傅里叶变换，得

公式7

其中f(y）表示电场强度E、磁场强度H、电流密度J、磁化强度M。

在交错的Yee网格结构中，各电场分量位于网格单元棱边，各磁场分量位于网格单元面中心。

已知，对式（5）与式（6）通过式(7）变换后以Yee交错网格法进行差分离散，分别按照，方向进行单元节点编号，得到方程组

公式8

其中，，是三个电场分量与三个磁场分量分别在离散网格边上与离散网格中间的值组成的列向量；B=[Jx,Jy,Jz,Mx,My,Mz]T是右端向量；为对称稀疏矩阵。求解（8）式，得到电场与磁场在各个节的值。对矩阵的数值解进行逆傅里叶变换，即

公式9

在应用有限差分法进行建模计算时，其仿真时间不但取决于2D建模计算方法的复杂度，而且与逆傅里叶变换的正交点数相关，点数越多，计算时间越长。我们通过截断积分来提高积分效率，设置积分区间为[-kym,kym],kym为最大场振幅的0.1%。

公式10

求解（10）式可得时域电磁场分量。

2、数值模拟计算

为了对交错网格有限差分法及计算效果进行验证，我们在MATLAB平台上构建数值计算地层模型，分别构建了地层断层模型以及地层裂缝模型。首先对本文提出的算法进行验证。

图12.5D与1D数值解对比图

图1为均质三层地层模型与1D模型视电导率计算结果对比图。图1中两曲线基本重合，有限差分法数值计算结果正确。

图2为不同的傅里叶逆变换正交点数数值解与解析解视电导率对比图，通过综合对比计算精度与计算时间，本文中所有模型的Ky数值定为81。

设计一种地层断层模型进行计算，设计的模型二维剖面如图3所示。其中目的层电阻率R2=R5=10Ω·m，围岩电阻率R1=R3=R4=R6=1Ω·m，仪器工作频率为f=20kHz，收发间距为L=1m，采样间隔为0.4m，计算域为40m。目的层厚H=4m，断距h=1m,a为断层倾角。仪器位于上目的层中沿x方向水平移动，穿过断层界面到达下目的层，模型中仪器初始位置位于上目的层z方向中间位置；仪器到达下目的层后，距上边界1m，距下边界3m。

图2数值解与解析解对比图

图3断层剖面示意图

图4为不同断层倾角a的断层视电导率曲线。图4中曲线表明，当断层倾角a越小，仪器穿过断层面时的视电导率越小；随着a的不断增大，断层面处的视电导率随之增大，“犄角”不断变小，直至消失。曲线中“犄角”现象的出现是因为断层倾角小，断层面处下目的层对上目的层产生影响，导致视电导率下降；当倾角变大时，这种影响逐渐减弱，当倾角为80°时，下目的层的影响完全消失。当仪器进入下目的层时，视电导率增大，出现这种结果的原因是因为仪器在进入下目的层后，仪器与目的层和围岩边界的距离变小，受到围岩影响的效应增强，导致下目的层的视电导率增大。

图4断层视电导率

利用三层地层水平井数值计算结果。其中模型计算域为40m，目的层厚为4m，目的层电导率为σt=0.1s/m，围岩电导率为σs=1s/m，仪器工作频率为f=20kHz，收发间距为L=1m，采样间隔为0.4m。图4中曲线在目的层与围岩交界面处因角度以及采样间隔过大的原因出现“犄角”效应。此结果表明应用有限差分法进行水平井探测，层边界明显，计算效果好。

3、结语

在对复杂地层进行电磁测井时，一维模型难以构建复杂三维地层，三维模型又存在结构复杂，计算矩阵规模巨大，计算消耗时间长，对计算机性能要求高。本文在MATLAB软件平台上应用提出交错网格有限差分法能够很好的以二维的形式模拟三维地层建模，对地层中的断层有着很好的探测效果，能够真实、准确的反映地层电导率。计算时间与三维计算软件COMSOL相比大幅减少，表明交错网格有限差分法形式简单、计算效率高。

参考文献：

[1]张辉,唐新功.一种新型有限差分网格剖分方法在大地电磁一维正演中的应用[J].物探与化探,2015,39(03):562-566+571.

王鹏飞,田豆,王轲.有限差分法在电阻率测井中的应用[J].云南化工,2020,47(03):122-123+126.