混合模拟试验方法是一种结合物理试验与数值模拟优势的抗震试验方法,源于Hakuno等[1]在1969年提出的拟动力试验。对于大型结构,混合模拟试验将难以精确模拟的复杂非线性部分作为试验子结构在实验室进行加载;非线性较弱部分作为数值子结构进行数值模拟,即子结构混合模拟试验。子结构混合模拟试验能应用于大比例甚至是足尺结构,被认为一种经济有效且极具应用前景的抗震性能评估方法[2,3],近年来获得了重大发展[4,5,6]。

数值模型过于理想化与试验子结构界面边界条件处理[7,8]是影响混合模拟试验的关键问题,如数值模型的本构关系未必是准确的,实际上同一种材料不同试件本构关系也存在差异[9]。地震本身的复杂性,难以准确确定弹性与非弹性的界限;并且实验室条件限制了子结构选取的数量,边界条件很难完全实现。目前,许多学者提出的模型更新方法是解决此问题的一个重要途径。Kwon等[10]建立了多个本构参数不同的数值模型并赋予不同权重,利用试验子结构实测数据去更新权重,最后将每个模型恢复力按权重计算作为数值子结构恢复力。Elanwar等[11,12]将遗传算法与神经网络算法应用到材料本构参数识别上。Wu等[13,14,15,16]利用隐性卡尔曼滤波器(UKF)作为更新方法成功实现了钢框架、混凝土框架与桥墩的模型更新混合模拟试验。这些成果均推进了模型更新混合模拟试验的发展,提高了混合模拟试验的精度。

上述方法从试验样本点结果去寻找更优的更新参数,然而随着结构子结构数量、自由度及识别参数数量的提升,识别程序根据一个追踪目标去识别多参数的过程中容易收敛于非参数真值,因此有必要选取更具代表性的样本点;同时样本点数量及计算量大大增加,尽管结构非实时加载,但应保证合理的计算时间。本文提出的基于均匀设计的模型更新方法,从试验设计的角度控制试验样本点数量,使得样本点均匀分布,保证样本代表性从而实现参数更新,同时能有效降低识别时间且确保模拟精度。本文通过一个两层单跨钢框架结构4种情况下的数值模拟算例,说明本模型更新方法在不同界面处理情况下及不同本构下的可行性及有效性。

1、基本原理

基于均匀设计的模型更新混合模拟试验方法的思想是:先假定试验子结构与全结构的本构关系相同,将全结构划分出全结构数值模型(模型1)、试验子结构模型(模型2)、验算子结构模型(模型3)三大部分,验算子结构是在试验子结构的基础上构造一个数值模拟空间(两者除本构参数外均相同),随着试验子结构的真实响应信息的不断获取,利用均匀设计获得一系列不同初始参数具代表性的验算子结构,采用适当的误差准则识别出试验子结构的本构参数,将其更新到全结构数值模型。识别过程中若在全局搜索匹配的验算子结构,将会花费大量时间,本文采用基于均匀设计的更新方法,其优点在于减少验算子结构空间样本点的同时,保证样本点的代表性,即能大大减少识别时间且保证识别效果。具体识别步骤如图1所示。

步骤1利用数值积分算法求解动力方程获得全结构各自由度的位移y,将其通过Socket接口发送到OpenSees中建立结构模型对应的自由度。

步骤2按接收到的位移ynum对全结构数值模型进行加载,获得边界处反力Nnum,Mnum,并将此反力传输到试验子结构与验算子结构作为边界条件。

步骤3按接收到的位移ynum1与反力Nnum,Mnum对试验子结构与验算子结构进行加载,获得其恢复力Res与Ren,根据预先设下的误差准则,判断是否将其发送给识别程序。

图1模型更新流程图

步骤4识别程序识别出本构参数后更新至全结构数值模型,全结构数值模型根据更新后参数重新进行该步静力分析。

步骤5重复步骤1～步骤4直至满足试验结束条件。

本方法需要Matlab与OpenSees协同完成,如图2所示,Matlab作为主控程序负责运动方程的求解与参数识别,模型1、2、3均在OpenSees建模,负责求解相应位移历史下的静恢复力。值得注意的是,本文Matlab与OpenSees之间所有的数据传输均采用Socket接口实现,该接口能实现数据的快速传输,传输时间与利用文档读写传输数据的传统方法相比明显减小,且Matlab具备高效方便的矩阵和数组运算的优点,能方便处理由OpenSees传回的大量数据。

2、模型更新方法

2.1 识别原理

混合模拟试验子结构每一步加载后,识别出与其误差指标较小的数值模拟模型的过程,可以将其看作是一次试验设计,试验设计目标即逼近与试验子结构的恢复力结果。理论上可以每一步均进行试验设计,为保证效率,本文设计一个误差范围,误差范围以内则不进行更新,维持上一步最新参数。

图2软件交互流程图

试验设计中主要有以下设计方法:①全因素设计法;②正交设计法;③均匀设计法。前两种设计方法在水平数较多情况下是难以应用的。均匀设计则只考虑试验点在试验范围内均匀分散,其与正交设计相比,能有效降低试验次数且偏差变化不大,如设计一个三因素六水平的试验,正交设计法采用L36(63)需要做36次试验,而均匀设计采用U*6(66)则只做6次试验,前者与后者的偏差分别为0.1597与0.1875,相差并不大,但试验次数相差5倍,这是均匀设计最明显的优势。

均匀设计作为一种空间填充设计,由我国数学家王元和方开泰提出[17],其试验点均匀分布在定义域上。均匀设计是“拟蒙特卡洛”在数论方法中的应用,其基本理论基于“总均值理论”,即估计试验域Cs上y的总体均值。设试验输入变量x1,…,xs与输出变量有确定性的关系

y=f(x1,⋯,xs),x=(x1,⋯,xs)⊂Cs         (1)y=f(x1,⋯,xs),x=(x1,⋯,xs)⊂Cs         (1)

式中,试验区域Cs=[0,1]s,变量y在Cs上的总均值为

E(y)=∫Csf(x1,⋯,xs)dx1,⋯,dxs         (2)E(y)=∫Csf(x1,⋯,xs)dx1,⋯,dxs         (2)

假定在y在试验区域Cs选出n个试验点x1,…,xn,这n个试验点上的均值为

y−(Pn)=1n∑i=1nf(xi)         (3)y-(Ρn)=1n∑i=1nf(xi)         (3)

式中,Pn={x1,…,xn}代表试验区域Cs所选点集,由数论中的Koksma-Hlawka不等式可得

∣∣E(y)−y−(Pn)∣∣≤V(f)D(Pn)         (4)|E(y)-y-(Ρn)|≤V(f)D(Ρn)         (4)

式中:V(f)是函数f在Cs上的总变差,是与真实函数本身平稳性有关的;D(Pn)为点集Pn在Cs的偏差,偏差是度量点集Pn均匀性的一种测度。

对于任意函数g⊂Cs,设N(g,P)为落入g⊂Cs范围内点的个数,则偏差D(Pn)可定义为

D(Pn)=supg∈Cs∣∣1nN(g,P)−v([0,g])∣∣         (5)D(Ρn)=supg∈Cs|1nΝ(g,Ρ)-v([0,g])|         (5)

式中:v([0,g])表示为[0,g]组成的矩形的体积;sup表示上确界。

因此,Pn={x1,…,xn}分布越均匀,则D(Pn)则越小,式(4)误差则越小,能有效估计试验总均值。

如果试验的目的是为了找出一个较优的试验条件参数,这时就从试验点中选出指标最优的一个,相应的试验参数作为预选的参数,由于试验点均匀分布,试验点中最优的条件参数与试验范围内的最优参数相差不大。本模型更新方法正是基于此性质,每一次的参数更新,只从试验点中找出最优本构参数,可同时保证运算效率与参数的识别效率。

均匀设计表在本试验中主要用于试验初始参数与验算子结构样本参数水平的建立两个方面。首先以均匀设计表得到数值模拟模型的多个水平初始参数,初始参数的设定即人为引入数值模型本构参数与参考值的误差,以体现在不同误差水平下对模型更新效果的影响;随后以均匀设计表得出基于试验子结构的多个验算子结构样本参数水平,每一参数水平对应一个验算子结构,在每一步运算中,从多个验算子结构匹配出与试验子结构最符合的一个作为参数更新的来源。

2.2 材料本构参数

本模型更新选择本构参数作为识别参数,其优势为:①本构参数是影响结构响应的最基本因素;②识别本构参数意味着只要求试验子结构与数值子结构有共同材料特性,比选择构件参数、截面参数更具通用性。

本试验采用钢结构模型,如图3所示为常用的两种钢材本构模型,即双线性模型(Steel01)与Giuffre-Menegotto-Pinto模型(Steel02)。无论是Steel1还是Steel2,本构最主要参数均为弹性模量E,屈服强度Fy,强化系数b;选此三参数为本次模型更新的参数对象。

图3钢的本构模型

值得注意的是,在结构地震响应过程中,结构弹性阶段响应只受E影响,结构塑性阶段响应才与Fy,b相关。因此本试验采用分步识别方法,在弹性阶段完成识别E,塑性阶段识别Fy,b,能有效提升识别效率。

2.3 参数误差指标

模型更新中可采用不同指标作为识别指标,由于结构恢复力在地震作用下变化剧烈且敏感,而试验子结构恢复力本身是混合模拟试验中必须测量的一个数据,因此试验子结构恢复力是一个优良的对比指标,模型更新的目标函数可定义为

Error(n)=∑j=1n(Renk(tj)−Res(tj))2∑j=1nR2es(tj)−−−−−−−−−−−−−⎷  (1≤k≤i)         (6)Error(n)=∑j=1n(Renk(tj)-Res(tj))2∑j=1nRes2(tj)  (1≤k≤i)         (6)

式中:Error(n)是第n步相对累计误差;Renk(tj)是验算子结构第j步且参数水平为k的对应恢复力;Res(tj)是试验子结构第j步对应恢复力;k是均匀设计表中参数水平数目。本试验模型更新旨在寻找每一步在i个水平下的相对累计误差最小对应的本构参数。

3、数值模拟

以钢框架结构为例,分别采用其常用两种本构及考虑界面弯矩处理情况,通过对比传统混合模拟试验和本模型更新混合试验的OpenSees模拟结果来验证模型更新的可行性与有效性。

3.1 钢框架结构试件概况

本文结构算例采用2层单跨钢框架结构,如图4所示,层高为3.6m与3.0m,跨度6.6m,梁柱截面分别采用Q235的H450×200×9×14和H250×250×9×14。本构参数参考值如表1所示,E′,F′y,b′分别弹性模量、屈服强度与强化系数参考值。OpenSees建模假定基础与地基刚性连接,梁柱单元选取基于力的非线性梁柱单元,每个单元采用5个Gauss-Lobatto积分点。首层与第二层总质量分别为19.828t与18.142t。地震波采用El-Centro波,地震峰值加速度调整为400gal,持续时间20s。采用OpenSees全结构拟动力分析的结果作为参考值对本方法效果进行评价。

图4结构建模几何参数

3.2 本构参数敏感性分析

本结构的三个本构参数E,Fy,b对地震下结构滞回性能的影响程度不一样,敏感性分析能指导模型更新过程中本构参数变化的上下限与均匀设计中不同水平下的变化幅度。如图5所示,Er为相对累计误差,分别对三个本构参数进行上下调整10%,20%,30%,分析调整对模型更新的相对累计误差的影响,其中纵坐标负向表示下调参数引起的相对累计误差,可以发现Fy影响最大(28.9%),其次是E(17.7%),最小是b(1.5%)。

3.3 确定初始参数水平及识别搜索范围

根据上述敏感性分析结果,结合均匀设计表U*10(108)确定10水平对应的初始参数,初始本构参数与其参考值的比值见表2。表2起到两个作用:①为“传统混合模拟”提供10组初始本构参数值,以反映传统混合模拟试验中本构参数是统计值且有误差的情况,这些参数不会被更新;②为“模型更新”提供10组初始本构参数值,但这些参数可被更新,与“传统混合模拟”形成对比突显模型更新效果。

有钢材相关统计表示[18,19],即便是同一型号钢材,其材性的变异系数可达10%,同时考虑到现实工程中与有限元模型存在差异的参数数量一般多于模型更新参数的数量,因此模型更新参数的搜索范围应适当扩大以考虑这部分差异引起的滞回性能变化。因此三参数中E,Fy每次识别的搜索范围分别为±14%,±14%,参数b由于对滞回性能影响较弱且其基数小,可适当加大其范围为±50%以提高其在识别中对滞回性能的控制作用。

图5敏感性分析

3.4 数值模拟结果(考虑边界弯矩)

本小节的数值模拟除在试验子结构边界处施加位移外,还考虑边界上的轴向力与弯矩,即其轴向力与弯矩由全结构对应处每一步提取所得。这是模拟实验室条件较好的情况,具备对试验子结构施加指定弯矩的条件。对钢的两种常用本构(Steel01和Steel02)分别进行了数值模拟,各水平误差如图6所示。图6中,n为初始参数水平,Er为相对累计误差。图7和图8为各水平初始参数识别相对累计误差最大的一组与参考值对比结果。图中d为杆112顶端侧向水平位移。

从图6、图7和图8可知,无论是本构采用Steel01还是Steel02,传统混合模拟与参考值的差异较大,采用本文提出的模型更新方法与参考值非常接近,且可以发现在10个水平下的初始参数最终的相对累计误差均低于1.6%,显示出本方法的通用性与有效性,说明本模型更新混合模拟方法利用试验子结构的试验数据不停地校正数值模型的本构参数,可以有效地改善模拟结果。可以观察到图8的“传统混合模拟”结构响应与参考值的误差比图7的小,原因在于本文选取的是识别结果相对累计误差最大而非滞回性能误差最大的一组,图8对应的是水平6的初始参数,E、Fy、b分别为1.06、1.12、1.40,由于前二者均和参考值相近,而b对滞回性能影响有限,故导致最后滞回性能误差不大。

图6考虑边界弯矩情况下各水平初始参数的误差

图7考虑边界弯矩情况下结构响应对比(Steel01)

图8考虑边界弯矩情况下结构响应对比(Steel02)

三个本构参数识别结果如图9所示,图9中R为该参数当前识别值与参考值的比值,可以发现均在2.6s内收敛至稳定值,参数E与Fy收敛值至参考值,参数b在Steel02下最后收敛值与参考值有一定偏差,原因在于参数b对滞回性能影响较小,尽管其并未收敛至参考值,也能获得较好结果。

图9考虑边界弯矩情况下本构参数识别结果

3.5 数值模拟结果(不考虑边界弯矩)

考虑到并非所有实验室都具备对试验子结构施加指定弯矩的条件。本小节的模拟除在试验子结构边界处施加位移外,仅考虑试验子结构边界上的轴向力,即其轴向力由全结构对应处每一步提取所得。同样地,对钢的两种常用本构(Steel01和Steel02)进行了数值模拟,各水平误差如图10所示,图11和12为各水平初始参数相对累计误差最大的一组与参考值对比结果。

图10不考虑边界弯矩情况下各水平初始参数的误差

图11不考虑边界弯矩情况下结构响应对比(Steel01)

图12不考虑边界弯矩情况下结构响应对比(Steel02)

如图11和12所示,试验子结构边界在缺少弯矩施加的条件下,仍能准确有效地识别出本构参数,在10个水平下的初始参数最终的相对累积误差均低于1.6%,说明了本方法在不同本构模型、不同边界处理情况下仍能保持有效性。

如图13所示,参数E与Fy均在3s内收敛至稳定值,参数b收敛至稳定值用时较长,同样是因为参数b对滞回性能影响较小,只要参数E与Fy收敛效果好,参数b在更新过程中波动也能获得较好结果。

图13不考虑边界弯矩情况下本构参数识别结果

3.6 模型更新时间

本文采用基于均匀设计的模型更新,能有效降低试验点的数量,采用Socket接口进行数据交互,使整个识别过程时间得到有效降低。如图14所示,在模拟20s地震作用响应下,本结构模型采用Steel01与采用Steel02作为本构的模型更新混合模拟试验全过程用时分别不超过500s和1650s,这对于传统非实时模型更新混合模拟试验是极为理想的,识别过程对整个混合模拟加载过程影响不大。

图14模型更新所用时间

4、结论

(1)提出基于均匀设计的模型更新混合模拟试验方法,并进行了四种类型相应数值模拟。考虑不同实验室加载条件不同的情况,对试验子结构边界是否施加弯矩分别进行了数值模拟;并考虑常用的两种钢本构在本方法的适用性。数值模拟对比结果分析表明,在四类情况下,所提方法均能有效识别出其本构参数,相对累积误差均保持在1.6%之内,比传统混合模拟极大地提高了混合模拟的模拟精度,同时均匀设计能有效降低样本点数量,保证识别及模拟结果的准确率和效率,是可行的。

(2)利用Matlab与OpenSees混合编程,取消传统的文本读写数据交互方式,软件间数据全部采用基于Socket接口进行数据交互,进一步降低运行时间,采用Steel01与Steel02两种钢本构的模型更新时间分别不超过500s与1650s,对提升模型更新混合模拟在纯数值模拟与真实试验中的效率有着积极的意义。

参考文献：

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基金:国家自然科学基金项目(51678199).