首页 > 论文范文 > 自然科学论文 > 数学论文 > 数学基础论文 > 探究《信息安全数学基础》教学与抽象代数的有机结合

探究《信息安全数学基础》教学与抽象代数的有机结合

2020-07-10 456 上传者：管理员

摘要：《信息安全数学基础》是信息安全专业的基础课程,为学生的后续学习提供数学理论基础。通过分析《信息安全数学基础》教学中存在的问题,提出以近世代数思想为基础的教学模式,并在实际教学中采用的案例为例,详细介绍在学习欧几里得除法、同余、原根等相关内容中的近世代数思想的具体应用。

关键词：
代数思想
信息安全数学基础
教学模式
数学基础
近世代数
加入收藏

一、引言

信息安全数学基础学科是一门综合的新兴学科,课程的主要内容有整数论和近世代数两个大的部分,主要面向信息安全专业相关课程(包括密码学、信息安全协议、数字水印、信息安全工程等课程)涉及的数学理论知识,涉及到信息学、通信学、计算机科学以及数学等多个学科[1]。

《信息安全数学基础》作为信息安全专业的基础课程,是整个信息安全专业的理论基础[2]。打好数学基础,也直接影响到学生对后续课程的学习兴趣[2]。

本文通过分析在教学实践中积累的案例,根据本专业学生在学习过程中遇到的困难,总结出以抽象代数为基础的教学模式,使学生更能将抽象代数和整数论的知识点融会贯通,真正理解掌握[3]。

二、问题

根据多年的教学积累,总结目前学生在学习本课程的过程中,主要有以下问题。

首先,中国矿业大学面向全国招生,各省市的生源质量不均衡,所以学生的基础差别很大,尤其是新疆西藏海南青海等地区的学生,数学逻辑思维,抽象思维能力明显欠缺,一开始学习都会很困难。

其次,本课程主要包括数论和抽象代数两大部分。在目前几乎所有的教材中,都是将两个部分的内容分开讲述教学的[4]。但是作者在教学过程中发现,关于数论中的剩余类剩余系等基本概念,学生掌握的程度和学生对抽象代数的理解程度有极大的相关性。如不能很好地理解抽象代数中群环域的基本理念,那么学生对于同余运算本身的理解就一直是模糊不清的。

最后,中国矿业大学信息安全数学基础这门课程总学时48学时,想要在48个学时的时间内讲完数论和抽象代数两部分内容是不可能的。所以一直都是讲数论部分作为主体,抽象代数简单就提及思路进行教学。

三、基于近世代数的数论教学实例

为了增强学生的理解,本人在教学中设计了基于抽象代数的多个案例。由于《信息安全数学基础》课程和密码学课程紧密相关[6],所以在课程设计的过程中,一直将密码学的简单案例贯穿其中,让学生理解数学基础在实际的信息安全专业中的应用,学会运用数学知识处理专业问题,真正理解数学基础的作用。

在《信息安全数学基础》课程教学中,数论的内容主要是围绕同余式的求解展开,并相应地提出整除、同余、平方剩余、原根等概念。抽象代数部分主要是在群环域的概念基础之上讨论密码学中应用的Galois域以及椭圆曲线等理论知识。

为了提升学生的抽象思维能力,根据前面分析的一系列问题,我们提出将抽象代数的基本概念贯穿始终在数论的学习中,用实际的密码学案例作为引导,将教学大纲各个知识点串联起来[5]。下面以同余和原根两个概念进行介绍。

由于涉及知识点较多,本文仅选取同余和原根两个知识点进行介绍。

(一)同余运算

同余运算贯穿整个数论知识,是信息安全数学基础的核心内容,也是密码学计算的基础。同余运算从一次同余式,二次同余式到高次同余式的求解都是课程需要解决的主要问题。

教学设计:首先要明确所有的求解都是在完全剩余系或者简化剩余系的范畴内提出的,求解的结果不是一个具体的数,而是剩余类。所以要首先解决剩余系和剩余类的概念。所以需要首先给学生建立模运算中的群环域的概念,让学生学会在抽象的逻辑里应用具体的概念。

比如说整数集合上的模加运算构成群,整数集合上的模乘运算却不构成群,具体原因是因为模逆运算的要求是乘数和模数要互素。在此处,课堂教学中,设计两个要素。

第一个要素,就是实际应用通过实际数学基础在密码学中的应用,让学生了解到数学理论知识在专业知识中的具体作用。落实到本知识点,设计一个密码学中的加法密码和乘法密码。对于模26个英文字母的完全剩余系里,任意的加密系统m+d=c(mod26),都可以进行解密m=c-d(mod26).因为在集合为26英文字母的集合上的加法运算构成一个群,单位元是0,任何元素都有逆元。但是并不是任何乘法加密系统都是可用的,可以假设加密系统13*d=c(mod26),让学生对此加密系统进行解密,学生会困惑地发现无法解密,因为在这个加密系统中,密文只有两个,是多对一的关系。由此让学生思考具体原因是什么。

第二个要素是将群环域的抽象概念和数论知识结合起来,让学生学会抽象思维。在此处知识点,就是根据以上的密码学实例,让学生从抽象代数的思维得出结论,因为模26的完全剩余系上的乘法运算不是一个群,并不是所有的元素都有逆元,为了让以上乘法密码可用,需要构造一个任何元素都可逆的乘法群,因此需要在模26的简化剩余系上建立乘法运算。引出模逆的概念,简化剩余系的概念,简化剩余类的概念,以及欧拉函数的概念,欧拉定理的概念等等。通过抽象代数的知识,让数论的相关概念的源头清晰明了。

通过将具体密码实例,和数论理论知识,以及抽象代数的思维结合在一起,让学生能够从根本上理解数论定义,定理的意义,也能让学生充分地将抽象的逻辑思维更形象地表达出来,同时还能让学生理解数学知识的具体应用,让数学概念不再模糊。

(二)原根

原根这一部分内容是难点,尤其是指标,指数,原根,以及高次同余式的求解,都是建立在充分理解数论前面相关基础知识之上,并且指标,指数和原根之间的关系学生经常混淆不清。

教学设计1:针对多年教学的总结,教学设计的第一步是设计实例。为了让学生了解到,原根的应用实例,课堂教学中给出了基于椭圆曲线的公钥加密系统。但是椭圆曲线加密系统本身比较复杂,为了让学生能够清楚地了解到原根在密码学系统中的具体应用,课堂中将椭圆曲线加密系统进行简化,主要为了让学生清楚地看到原根的作用,数论中提出原根这个概念的目的。用具体的实例让学生去理解什么是原根,什么样的数有原根,怎么才能求出原根。

教学设计2:在具体实例的基础上,用抽象代数的思维,让学生理解如何通过原根构成一个简化剩余系,也就是原根的模幂运算构成了一个域。有限域的理解在信息安全应用中非常重要,尤其是在密码学课程和信息隐藏课程中都有直接的应用。密码学中的AES密码和椭圆曲线密码就是建立在有限域的相关理论知识之上的。为了让学生较能清楚地理解有限域地概念,在课堂教学中我们首先利用实际案例让学生了解有限域的概念在哪些专业知识中有应用,然后以具体案例为基础引入有限域知识点的学习。

教学设计3:原根知识点中举出具体例题,首先根据原根定义求出a=5是模m=17的一个原根,在学生清楚原根的含义之后,引入有限域的概念,给出a=5是有限域GF(17)的一个生成元,能够生成GF(17)的所有元素。并层次递进启发学生思考如果在这样一个域中设计密码算法,怎么才能够满足加解密互逆的运算,能够满足安全要求。

四、结语

在多年《信息安全数学基础》课程教学中,为了提高教学质量我们一直寻求突破点,运用多种教学手段,不断提高学生的学习兴趣。经过多年教学与实践,本文倡导的以抽象代数为基础的案例教学模式已取得初步成果,收到了较好的教学效果。

参考文献：

[1]陈恭亮.信息安全数学基础(第二版)[M].北京:清华大学出版社,2014.

[2]秦艳琳,吴晓平,罗芳.信息安全数学基础[M].武汉:武汉大学出版社,2014:1.

[3]杨文忠,刘淑娴,余广新,等.基于算法的信息安全数学基础教学模式研究[J].新教育时代,2018,18:192-193.

[4]李瑞琪,高敏芬,贾春福.信息安全数学基础的“讲一练二考三”改革方案设计[J].计算机教育,2016(11):27-30.

[5]杜宛娟.数学史融入抽象代数教学的思考[J].教育现代化,2018,5(48):246-247+250.

汪楚娇,张艳群.基于抽象代数的《信息安全数学基础》教学模式研究[J].教育现代化,2019,6(34):159-160.