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量子纯态正交化的一般方法与技巧研究

2020-12-08 500 上传者：管理员

摘要：本文介绍了量子纯态正交化的一般方法和一些技巧.以相干态为例,基于产生算符构造出相应的正交态,并研究了平均光子数、光子数分布和Wigner函数3种属性,且与原相干态和光子增加相干态进行了对比分析.

关键词：
正交化
正交态
相干态
量子力学
量子纯态
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在量子力学领域,如果两个量子纯态|ψ1〉和|ψ2〉的内积为零(即〈ψ1|ψ2〉=0),那么这两个量子态相互之间是正交的,且它们之间是最可分辨的[1].对于二态(二进制,二元)的经典系统,通常用0和1来描述两个状态,这两个状态之间是正交的,且是严格可区分的,它们之间可以通过非门操作实现交换.但在量子力学中,由于量子态的叠加原理,通过一个简单的0和1交换,并不能将一个量子态转换为其正交态.例如一个极端情形,叠加态|0〉+|1〉通过交换仍保持不变.也就是说,如果预先不知道量子态,那种能直接将量子态变成其正交态的普适量子非门操作是不存在的[2].

在常见量子纯态中,有些量子态可能有很多现成的正交态.比如说,任何两个不同的Fock态之间是正交的,而对于两个不同的相干态,通常是不正交的.但由于相干态可以看成平移真空态,相应的平移非零Fock态都是其正交态[3].本文所要探讨的问题是:对于一个已知的量子纯态,我们是否有比较一般或普适的方法找到它的正交量子态呢?最近Coelho等人提出了一种方法,可以给无限维的量子纯态找到正交量子态[4].本文我们把这个方法在这里详细介绍一下,并展示我们在处理这类问题的一些技巧.相信这个方法对国内从事正交量子态研究的人员有一定的参考和借鉴意义.

1、正交化方法

首先必须明确所需要正交化的对象,即量子纯态|ψ〉,以及恰当选取的某种操作算符Cˆ.C^.很显然,如果直接将CˆC^作用到态|ψ〉上,可以得到直接作用态:

|ψC⟩=1NC√Cˆ|ψ⟩|ψC〉=1ΝCC^|ψ〉(1)

这里的归一化系数NC=⟨ψ|Cˆ†C|ψ⟩ΝC=〈ψ|C^†C|ψ〉.而通过另一种操作方法,则可以实现量子纯态的正交化.

量子态|ψ〉正交化的基本过程如下:首先,计算算符CˆC^在该量子态|ψ〉下的期望值:

⟨Cˆ⟩|ψ⟩=⟨ψ|Cˆ|ψ⟩〈C^〉|ψ〉=〈ψ|C^|ψ〉(2)

然后构造正交子算符OˆCΟ^C,即

OˆC=Cˆ−⟨Cˆ⟩|ψ⟩IˆΟ^C=C^-〈C^〉|ψ〉Ι^(3)

这里IˆΙ^是单位算符,然后将正交子算符OˆCΟ^C作用在|ψ〉上,从而得到正交量子态:

|ψ⊥⟩=1N⊥√OˆC|ψ⟩|ψ⊥〉=1Ν⊥Ο^C|ψ〉(4)

这里的归一化系数N⊥=NC−∣∣∣∣⟨Cˆ⟩|ψ⟩∣∣∣∣2.Ν⊥=ΝC-|〈C^〉|ψ〉|2.

这里需要说明一下,算符CˆC^原则上可以任意选取,但当|ψ〉恰好是CˆC^的本征态时,以上操作程序不能使用,因为正交化操作的成功概率将下降为0(即N⊥=0),因此应恰当选取算符Cˆ.C^.根据以上方法,对于同一个量子纯态,选取不同的算符,可以得到相应的不同正交量子态.

通过上面的介绍发现,量子态的正交化过程涉及到一个量子纯态和恰当的算符,很自然会让人想到与其相关的量子态之间的优劣比较.实际上,这些相关量子态包括原态|ψ〉,直接作用态|ψC〉和正交量子态|ψ⊥〉.如果要研究量子态的属性,并假定该属性可以用算符MˆΜ^来描写,其期望值⟨Mˆ⟩〈Μ^〉对应着属性特征.对于原态|ψ〉有

⟨Mˆ⟩|ψ⟩=⟨ψ|Mˆ|ψ⟩〈Μ^〉|ψ〉=〈ψ|Μ^|ψ〉(5)

对于直接作用态|ψC〉有

⟨Mˆ⟩|ψC⟩=⟨ψ|Cˆ†MˆCˆ|ψ⟩NC〈Μ^〉|ψC〉=〈ψ|C^†Μ^C^|ψ〉ΝC(6)

而对于正交量子态|ψ⊥〉有

⟨Mˆ⟩|ψ⊥⟩=⟨ψ|Cˆ†MˆCˆ|ψ⟩N⊥+⟨Cˆ⟩∗|ψ⟩⟨ψ|Mˆ|ψ⟩⟨Cˆ⟩|ψ⟩N⊥− ⟨Cˆ⟩∗|ψ⟩⟨ψ|MˆCˆ|ψ⟩N⊥−⟨ψ|Cˆ†Mˆ|ψ⟩⟨Cˆ⟩|ψ⟩N⊥ (7)〈Μ^〉|ψ⊥〉=〈ψ|C^†Μ^C^|ψ〉Ν⊥+〈C^〉|ψ〉*〈ψ|Μ^|ψ〉〈C^〉|ψ〉Ν⊥- 〈C^〉|ψ〉*〈ψ|Μ^C^|ψ〉Ν⊥-〈ψ|C^†Μ^|ψ〉〈C^〉|ψ〉Ν⊥ (7)

这样,我们就可以对3种相关量子态的属性进行研究和对比分析.

2、实例分析

这一节我们举个例子,帮助大家强化对上面相关内容的理解,探讨量子态正交化方面的研究套路和问题思考.本文我们选取相干态|α〉作为|ψ〉,产生算符a†作为CˆC^的情形作为例子.这里涉及到3个量子态,即相干态[5](原态):

|α〉=eαa†-α*a|0〉(8)

光子增加相干态(直接作用态):

|αa⟩=11+|α|2√a†|α⟩|αa〉=11+|α|2a†|α〉(9)

以及相应的正交态:

|α⊥⟩=(a†−α∗Iˆ)|α⟩|α⊥〉=(a†-α*Ι^)|α〉(10)

这里,⟨a†⟩|α⟩=α∗,NC=1+|α|2,N⊥=1〈a†〉|α〉=α*,ΝC=1+|α|2,Ν⊥=1.另外,以下计算过程中,我们常用到

a|α〉=α|α〉(11)

aa†−a†a=Iˆaa†-a†a=Ι^(12)

接下来,我们讨论平均光子数、光子数分布和Wigner函数(分别用算符Mˆ1,Mˆ2Μ^1,Μ^2和Mˆ3Μ^3来描述)3种属性,针对3个量子态进行对比分析.

2.1平均光子数

量子态的平均光子数定义为

n¯=⟨a†a⟩n¯=〈a†a〉(13)

根据前面的操作流程,此时

Mˆ1=a†aΜ^1=a†a(14)

这样我们可得到|α〉的平均光子数:

n¯|α⟩=|α|2n¯|α〉=|α|2(15)

|αa〉的平均光子数:

n¯|αa⟩=|α|4+3|α|2+11+|α|2n¯|αa〉=|α|4+3|α|2+11+|α|2(16)

和|α⊥〉的平均光子数:

n¯|α⊥⟩=1+|α|2n¯|α⊥〉=1+|α|2(17)

在图1中,我们绘制了当α=1+i时,|α〉、|αa〉和|α⊥〉3种量子态的平均光子数n¯n¯随|α|2|α|2的变化情形.结果发现,对于同|α|2|α|2的情况下,总满足n¯|α⟩

图1平均光子数n¯随|α|2的变化曲线(实线、虚线、虚点线分别对应态|α〉、|αa〉、|α⊥〉)

2.2光子数分布

量子态的光子数分布定义为

P(n)=⟨(|n⟩⟨n|)⟩Ρ(n)=〈(|n〉〈n|)〉(18)

根据前面的操作流程,此时

Mˆ2=|n⟩⟨n|Μ^2=|n〉〈n|(19)

利用相干态的粒子数表象展开公式:

⟨n|α⟩=e−|α|22αnn!√〈n|α〉=e-|α|22αnn!(20)

得到|α〉的光子数分布:

P|α⟩(n)=e−|α|2|α|2nn!Ρ|α〉(n)=e-|α|2|α|2nn!(21)

|αa〉的光子数分布:

P|αa⟩(n)=ne−|α|2|α|2(n−1)(n−1)!(1+|α|2)Ρ|αa〉(n)=ne-|α|2|α|2(n-1)(n-1)!(1+|α|2)(22)

和|α⊥〉的光子数分布:

P|α⊥⟩(n)=ne−|α|2|α|2(n−1)(n−1)!+e−|α|2|α|2(n+1)n!− 2e−|α|2|α|2n(n−1)! (23)Ρ|α⊥〉(n)=ne-|α|2|α|2(n-1)(n-1)!+e-|α|2|α|2(n+1)n!- 2e-|α|2|α|2n(n-1)! (23)

这里利用了a|n⟩=n√|n−1⟩.a|n〉=n|n-1〉.

图2光子数分布图形

2.3Wigner函数

量子态的Wigner函数负值部分来判断其非经典性特点.Wigner函数可定义为

W(β)=⟨2πW(β)=〈2π:e-2(a†-β*)(a-β):〉(24)

这里:…:表示正规排序,表示产生算符a†总在湮没算符a的左边[6],且β=(x+iy)/2√β=(x+iy)/2.根据前面的操作流程,此时

Mˆ3=2πΜ^3=2π:e-2(a†-β*)(a-β):(25)

得到|α〉的Wigner函数为

W|α⟩(β)=2e−2|α−β|2πW|α〉(β)=2e-2|α-β|2π(26)

|αa〉的Wigner函数为

W|αa⟩(β)=2e−2|α−β|2π(1+|α|2)(|α−2β|2−1)W|αa〉(β)=2e-2|α-β|2π(1+|α|2)(|α-2β|2-1)(27)

以及|α⊥〉的Wigner函数为

W|α⊥⟩(β)=2e−2|α−β|2π(4|α−β|2−1)W|α⊥〉(β)=2e-2|α-β|2π(4|α-β|2-1)(28)

在图3中,我们绘制了当α=1+i时,|α〉、|αa〉和|α⊥〉3种量子态的Wigner函数分布情况.很明显,|α〉的Wigner函数具有高斯形式,其分布图形无负部区域(见图3(a));|αa〉的Wigner函数由于项|α−2β|2−1|α-2β|2-1的存在,已失去了高斯形式,当|α−2β|2<1|α-2β|2<1时,其分布图形出现负部区域(见图3(b));|α⊥〉的Wigner函数由于项4|α−β|2−14|α-β|2-1的存在,已失去了高斯形式,当|α−β|2<1/4|α-β|2<1/4时,其分布图形出现负部区域(见图3(c)).

图3Wigner函数分布情况

3、小结

综上所述,我们介绍了一种量子态正交化的一般方法,并展示了处理相关问题的技巧.以一个实例来验证这个方法和技巧的操作细节和具体过程.我们给出了相应研究属性的解析表达式,并进行了数值模拟.本文所介绍的方法和研究思路,过程简洁、思路清晰,有助于增强大学生对量子力学和量子光学课程中有关量子态性质运算的理解和认识,值得在教学中推广应用.实际上,我们本文所举的例子是选取一个较简单的算符对相干态进行正交化.而在我们的最近发表的几个工作中,我们选取了较复杂的算符,实现了对相干态和单模压缩真空态的正交化[7,8,9,10].

参考文献：

[1]曾谨言.量子力学[M].北京:科学出版社,2000.

[6]任刚,杜建明,余海军,等.相干态在算符正规排序中的应用[J].大学物理,2017,36(2):18-19.

徐学翔,袁洪春.量子纯态正交化的一般方法和实例分析[J].大学物理,2020,39(12):5-7+12.

基金:国家自然科学基金(11665013);教育部产学合作协同育人项目(201902161006);江西师范大学2019年校级学位与研究生教育教学改革研究项目(YJG201905)资助.