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探索有关转动惯量平行轴定理验证实验的改良
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摘要：本文介绍了一种刚体转动惯量平行轴定理验证实验的改进方案．该方案通过调节对称放置在承物台上的两个钢柱到仪器转轴的距离来改变系统的转动惯量，使得总转动惯量可以在较大的范围内改变，并且始终保持了系统质量的对称性分布，从而有效地减小了实验的相对误差，提高了实验结果的可信度．
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刚体转动惯量是物理学中一个重要的概念［1，2］，同时在各工程领域中也多有应用．对于形状规则、质量分布均匀的刚体其转动惯量可通过数学方法计算得到．在计算过程中往往还可借助平行轴定理和正交轴定理来简化计算过程［3，4］．但是，对于形状不规则、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量的确定通常只能通过实验手段进行测定．常用的测量方法有三线摆、双线摆、扭摆、复摆等［5－8］，刚体转动惯量的测量是理工科大学生需要掌握的实验技能之一．作为刚体转动惯量实验的重要组成部分，平行轴定理的验证通常也是刚体转动惯量实验项目的必做内容．目前高校实验课上对刚体转动惯量平行轴定理的验证主要是通过平移两个钢柱相对于仪器转轴的距离来实现的，即分别测量两钢柱相对于仪器转轴对称放置和相对于转轴同时发生了一定侧向平移之后的转动惯量，两者的差值即为钢柱的转轴平移引起的转动惯量改变量．将实验结果与基于平行轴定理计算的理论值进行比较，如果两者在实验误差范围内相等，则平行轴定理得证［9］．但是这种方法由于两个钢柱作为一个整体平移后其质心已不再位于仪器转轴上，导致测量结果误差较大，从学生提交的实验报告中发现相对误差常常超过20%，不能很好地达到实验目的．针对此问题，本文改进了实验方案，通过改变各个钢柱到仪器转轴的距离来改变系统的转动惯量，但是始终保持钢柱相对于转轴的对称分布，其整体的质心始终位于仪器转轴上，从而很好地解决了原来测量方案中相对误差较大的问题．通过控制实验参数可将实验误差减小到1%以内，从而可以达到更好的实验验证效果．
1、传统实验方案介绍
对于任意刚体其转动惯量的大小与转轴的位置有关，当转轴通过刚体质心时具有最小的转动惯量．设质量为m的刚体绕通过其质心的转轴转动时的转动惯量为Jc，若将转轴侧向平移距离d，刚体绕平移后的转轴转动时的转动惯量为J'．根据平行轴定理，Jc和J'之间存在下述关系［2］:
刚体转动惯量的实验装置如图1所示．该装置利用刚体转动动力学原理来测定刚体的转动惯量．让待测刚体同承物台和塔轮同步绕转轴转动，通过测量由外力矩作用产生的角加速度，可间接测得系统的转动惯量，其计算公式为［9］：
其中mf为提供动力的砝码质量，g为重力加速度，r为绕线轮半径，β和βμ分别为有动力矩和只有阻尼力矩时系统的角加速度．利用该装置也可进行平行轴定理的验证．目前采用的实验方案是将两个一样的小钢柱分别对称放置在承物台的(3，3')孔位，如图2左图所示．将两个钢柱视为一个整体，则这个整体的质心在仪器的转轴上，转动惯量用Jc表示．整个系统的转动惯量则是钢柱转动惯量和仪器本身转动惯量(J0)的和，记为J1．通过实验可测得J1的值．再将两个钢柱平移两个孔位至(1，5')或(1'，5)，见图2右图．此时，两钢柱系统的质心偏离转轴，与转轴相距d，转动惯量为J'．系统整体的转动惯量为J2=J0+J'．依据平行轴定理J'=Jc+2md2得：
测出钢柱的质量m，计算出2md2的理论值，再根据测量数据计算ΔJ=J2－J1的值．比较实验测量结果和理论值，若两者在实验误差范围内相等则平行轴定理得以验证．原实验方案中存在的问题有:由于钢柱在从(3，3')孔位移到(1，5')或(1'，5)孔位后，钢柱作为一个整体其质心发生了平移，偏离了仪器的转轴，这势必改变阻尼力矩，从而引起实验误差;受仪器承物台上定位孔分布和钢柱质量的限制，钢柱平移前后转动惯量的改变量很小，只有2．98×10－4kg·m2，实验中的各种误差将会对实验结果产生较大的影响［10，11］．
2、改进后的实验方案
针对前述实验方案中存在的问题，本工作改进了实验方案．新实验方案继续沿用原来的转动惯量测量方式，但改进了平行轴定理的验证方法，保证两个钢柱作为一个整体其质心始终在仪器转轴上，从而显著地减小了实验误差，提高了实验结果的可信度．改进后的实验方案将两个钢柱分别依次对称放置在(1，1')、(2，2')、(3，3')、(4，4')、(5，5')孔位，见图3，测量不同放置情况下的转动惯量．在移动小钢柱位置的过程中，将两个小钢柱看成两个独立的系统，根据转动惯量平行轴定理可得其转动惯量的改变量为2m(l22－l21)，其中l1和l2分别是平移前后钢柱质心到仪器转轴的距离．对于本实验中所用仪器，第一孔位至转轴的距离l1为4．50cm，相邻的两孔之间的距离为1．50cm．通过测量不同钢柱配置时的转动惯量，并计算各种钢柱配置情况下相对于(1，1')配置时的转动惯量改变量，然后与根据平行轴定理计算得到的理论值进行比较，若两者在实验误差范围内相吻合，则可证明刚体转动惯量平行轴定理成立．
图3改进方案中钢柱平移方法
3、实验结果分析
根据改进后的实验方案进行了一系列测量，并得到了若干组数据．实验所用仪器为中科仪公司的转动惯量测试仪，每个钢柱的质量为165．5g，砝码的质量mf为51．0g，绕线轮半径r为2．50cm，南京当地重力加速度g=9．794m/s2．其中一组实验数据如表1和表2所示，其中M为合外力矩，Mμ为阻尼力矩。表2是表1数据处理的结果，Ji－J1为将两个钢柱放置在(i，i')孔位与放置在(1，1')孔位时的转动惯量改变量，ΔJ为对应的理论值．从表2的数据处理结果可以看出，改进后的实验方案极大地减小了相对误差．随着小钢柱向外平移距离的增加，转动惯量改变量增大，相对误差也从5．3%单调下降到0．71%，实验结果很好地验证了平行轴定理．作为对照本文也用原来的实验方案进行了测量，实验结果的相对误差明显高于改进后的方案，达到了14．5%，高出一个数量级．此处基于传统方案所得结果的相对误差较本文引言中提及的20%相对误差要小．这主要是由于学生第一次做刚体转动惯量实验时，实验原理理解不够透彻，操作不够熟练，存在一些会引起实验误差的因素，如仪器欠水平、砝码的挂绳不水平、绳子与定位孔边缘存在摩擦、砝码下落过程中摆动等，未能在实验中充分排除，所以学生实验报告中测量结果的相对误差较大．而本文的实验是在已经熟练掌握了转动惯量实验操作的情况下进行的测量，事先已经尽可能地排除了前面提到的一些会引起误差的因素，所以相对误差较小．但是即便如此，传统方案所得结果的相对误差还是显著高于改进方案所得结果的相对误差，可见改进后的实验方案明显优于原来的实验方案．而且在原方案中为了最大化转动惯量的改变量，钢柱从(3，3')移到(1，5')，只此一种钢柱放置方法，而在改进方案中钢柱可以从(1，1')分别移到(2，2')、(5，5')等位置，有四种不同的转动惯量改变量，因此可以进行多次测量，提高实验精度．在改进方案中也可以利用四个钢柱进行实验，这样在保持每个钢柱平移量不变的情况下，由于钢柱数目增加，总质量增加，转动惯量的改变量也将增大，这对于减小相对误差将会有帮助．当使用四个钢柱进行实验时，钢柱在(2，2')、(3，3')、(4，4')、(5，5')等不同位置时测得的相对误差均小于1%．当钢柱位于(5，5')时相对误差更是减小到了0．15%，充分体现了新实验方案在减小实验相对误差，提高实验精度方面的优势．为了排除可能存在的仪器个体的不一致性导致的实验结论欠严谨性，本文随机选择了第二台仪器进行类似的对比测试，结果也很好的表明了新方案的优越性．在第二台仪器上利用传统方法进行测量时，相对误差达到了10%，而用新方案进行测量时，如果钢柱从(1，1')移至(5，5')，利用两个钢柱和4个钢柱进行实验的相对误差分别为0．65%和0．4%．这一测量结果表明本实验方案并不依赖于特定的仪器条件，在同一型号的不同仪器上都能获得类似的结论，新实验方案能显著的减小相对误差，提高实验结果的可信度．
4、结论
本文针对大学物理实验教学中刚体转动惯量平行轴定理验证的传统实验方案中存在的一些不足进行了分析,并提出了改进方案.文中提出的新方案很好地解决了平行轴定理验证实验中相对误差较大,以致平行轴定理验证实验的结论受到质疑的困扰,能让学生在实验过程中更好的理解平行轴定理,具有重要的教学意义.实验发现,在承物台上对称放置四个小钢柱进行实验,能进一步减小相对误差,实际实验教学中可采用此方案进行实验.
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基金项目:南京理工大学创新性开放实验教学项目资助
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