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Nekrasov矩阵线性互补问题误差界的新结果探究
2020-06-28
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上传者：管理员
摘要：利用主对角元素为正的Nekrasov矩阵的定义、性质以及两个经典不等式，结合它的逆的无穷范数上界的估计，得出该类矩阵线性互补问题误差界的新结果。最后，用数值算例对新结果进行了论证。
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线性互补问题（Lcp(M,q)）的模型是指求x∈Rn，满足
其中M是实矩阵，q是实向量。该问题在二次规划、期权定价问题等交通、经济和控制等领域有比较广泛的应用[1,2,3,4]。
当线性互补问题中所定义的M矩阵的主子式都为正的实矩阵时，该问题就有唯一解[5]。
2006年，陈小君等在文献[6]中给出了P矩阵线性互补的误差界估计式
r(x)=min{x,Mx+q}，D=diag(di),d=[d1,d2,…,dn]T(0≤di≤1)
近三年关于的估计是一热点，引起了许多学者的研究，文献[7,8,9]中对特殊的M矩阵的线性互补问题进行了研究。
本文研究主对角元素为正的Nekrasov矩阵的线性互补误差界估计，通过利用Nekrasov矩阵逆的无穷范数上界的估计式，结合它的定义式和不等式性质，给出该问题的新估计式。
1、预备知识
设矩阵M=(mij)∈Cn×n，对∀i∈N，有|mii|>hi(M)i=2,3,…n），则称M是Nekrasov矩阵。
关于mii>0的Nekrasov矩阵的线性互补误差界估计问题，李朝迁等在文献[10]中给出
高磊等在文献[11]中给出
引理1[10]设M=(mij)∈Cn×n是mii>0的Nekrasov矩阵，令=I-DM+DM=(),DM=diag(di),0≤di≤1，则是Nekrasov矩阵，且对任意的
引理2[12]设γ>0,η>0，则∀x∈[0,1]有
引理3[10]设M=(mij)∈Cn×n是mii>0的Nekrasov矩阵，令,DM=diag(di),0≤di≤1，则
引理4[13]设矩阵M=(mij)∈Cn×n是Nekrasov矩阵，M=D-L-U,D=diag(m11,m22,…,mnn),U是上三角矩阵，L是下三角矩阵，
则
2、主要结果
本部分给出Nekrasov矩阵误差界的新估计式。
定理1设M=(mij)∈Cn×n是mi>0的Nekrasov矩阵，
当k=2,3,…,n，则
k=2,3,…,n，则
证明：设,DM=diag(di),0≤di≤1，则由引理1知M是Nekrasov矩阵，再令,DC=diag()，由文献[11]知，C、都是严格对角占优矩阵，所以是Nekrasov矩阵，则利用引理4知
又由定义知
即
应用引理2和引理3知
联合上面的（1),(2),(3）式，代入引理4得
定理证毕。
3、数值算例
设，经验证M是Nekrasov矩阵，
由文献[10]知，；由文献[11]知
由文献[13]知
下面给出应用本文定理1中的估计式，结果当μ取不同值时的结果。
本文对Nekrasov矩阵线性互补误差界进行了新的研究，这是对该问题理论和数值计算方面的进一步完善。
参考文献：
[4]黎稳,郑华.线性互补问题的数值分析[J].华南师范大学学报(自然科学版),2015(3):1-9.
[9]王峰,孙德淑.B矩阵线性互补问题的误差界估计[J].数学的实践与认识,2017(8):253-260.
[13]王亚强.Nekrasov矩阵的逆矩阵的上界估计[J].河南科学,2019(2):165-170.
李艳艳.Nekrasov矩阵线性互补问题误差界的新研究[J].文山学院学报,2020,33(03):40-42.
基金:云南省教育厅科学研究基金项目“P矩阵的几类子矩阵的线性互补问题误差界估计研究”(2018JS491)
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