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矩阵互相关性视域下对框架界估计的研究
摘要：在实际应用中,框架界的比值是滤波器设计的一个非常重要的参数,它关系着整个系统的最终性能．一般来说,框架界的比值越小,系统的性能越好．对给定框架的框架界进行估计以确定该框架的性能是一项重要的工作．对于有限维序列空间中的框架{a1,a2,…,an},常常将该框架转化为一个矩阵,即把a1,a2,…,an作为该矩阵的列向量．本文利用矩阵的互相关性,首先对序列空间中一般框架的框架界作了相关讨论．然后利用相同的方法又在周期向量空间中研究了平移框架的框架界．
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引言
框架是由Duffin等[1]在1952年研究非调和分析时提出的,但当时却没有得到数学界的认可.上世纪80年代末,Daubechies等[2]发现L2(ℝ)中的函数在框架下可以展开成类似于标准正交基的级数,至此框架才真正进入学者们的视野.文献[3]中指出,与传统的正交小波相比,框架一般是冗余的,这种冗余性可以导致鲁棒性,意思是说冗余可以使得在低精度下获得的系数却可以在相对高精度下恢复信号,因此框架成为研究的热点之一.
目前,关于连续函数空间中基于框架的构造、性质、函数空间刻画及其在信息处理中的应用已经得到了完善与发展,参见文献[4,5,6,7,8,9,10,11].然而,在实际应用中,由于输入/输出数据和滤波器都是离散的,所以基于框架的算法实现都是在数字环境中完成的.基于数字的框架又名为离散空间中的框架,并不一定能够通过连续环境中的框架离散化得到,即使可以得到,也必须附加许多条件,参见文献[12].这就要求研究离散空间(序列空间)中的框架以及其与连续空间中框架的联系.
在过去十年里,关于序列空间中框架的研究已经有了一些重要结果.通过使用Pevnyi和Zheludev给出的离散幂增长空间,Dou等[13]构造出了l2(ℤ)上的样条小波;Kutyniok等[14]讨论了数字剪切波系和数字剪切波变换;Han等[15]引入了自适应数字MRA的结构;Han[16]研究了数字环境中离散框架小波的各类性质.本文将通过矩阵的互相关性概念,对序列空间中的框架界进行估计.
1、准备知识
文中d是一个给定的正整数,ℤ表示全体整数集合,ℤ+表示全体正整数集合.l2(ℤd)是全体能量有限序列组成的空间,并分别定义其内积和范数如下:
公式1
设N∈Z+,z=z{（n）}n∈Z．若zn(+N)=z(n),n∈Z，则称z是以N为周期的序列．记ZN=0{，1，…，N-1}．在ZN上定义序列空间
公式 (2)
在l2(ZN）上定义内积和范数如下：
公式 (3)
任取k∈ℤ．定义平移算子Rk:l2(ZN）→l2(ZN）如下：
公式 (4)
定义1.1设.定义z的离散Fourier变换zˆ为zˆ=(zˆ(0),zˆ(1),⋯,zˆ(N−1))T,其中
公式 (5)
设z,w∈l2(ZN），关于z的离散Fourier变换，容易得到如下结果：
引理1.1设z=(z(0),z(1),⋯,z(N−1))T,w=(w(0),w(1),⋯,w(N−1))T∈l2(ZN),则(ⅰ)zˆ(m+N)=zˆ(m),m∈EuclidMathTwoZA@N;
(ⅱ)⟨z,w⟩=1N∑m=0N−1zˆ(m)wˆ(m)¯¯¯¯¯¯¯¯=1N⟨zˆ,wˆ⟩;
(ⅲ)|z|2=1N|zˆ|2;
(ⅳ)[Rkz]∧(m)=e−2πikmNzˆ(m),k∈EuclidMathTwoZA@,m∈EuclidMathTwoZA@N.
最后引入框架的概念.设J为一个可数指标集,{ai:i∈J}是Hilbert空间EuclidMathTwoHA@中的点列.若存在常数C和D,0<C≤D<∞,使得
公式 (6)
对任意的x∈EuclidMathTwoHA@成立,则{ai:i∈J}是EuclidMathTwoHA@的一个框架,并分别称C和D为该框架的下和上框架界.
2、主要结果
设n是一个正整数满足n>d，矩阵A∈Rd×n．定义矩阵A的互相关性如下：
定义2.1设矩阵A∈Rd×n,A中的行向量记为,i=1,2，…，d．定义A的互相关性μA（）如下：
公式 (7)
设a1,a2,⋯,an∈l2(Zd),且{a1,a2,⋯,an}是l2(Zd)的一个框架.以a1,a2,…,an为列向量生成的矩阵记为A.而A中的行向量记为ai,i=1,2,…,d.
如果把矩阵A的行向量规范化,生成的矩阵记为A˜,具体形式如下:
公式(8)
需知|a˜i|2≠0,i=1,2,…,d.事实上,若假设矩阵A的第k行元素组成的向量的范数等于零,易得该行每个元素都为零,即a1,a2,…,an的第k个分量都等于零;又由于{a1,a2,⋯,an}是l2(Zd)的框架,则l2(Zd)中所有序列的第k个分量都等于零,显然这是不成立的.利用A˜定义Gram矩阵G为
根据定义易知{G(i,i)=1:i=1,⋯,d},且{|G(i,j)|≤μ(A˜):1≤j,k≤d,j≠d}.进一步,对任意的矩阵E,F∈Rd×d和x∈l2(Zd),若xTEx≥xTFx,则称E≥F.利用上面知识可以对矩阵算子G的上下界进行讨论.一方面,
矩阵1
另一方面,
矩阵2
其中I表示单位矩阵,1表示元素都为1的矩阵.
定理2.1设n是一个正整数满足n>d.进一步设a1,a2,⋯,an∈l2(Zd),且{a1,a2,⋯,an}是l2(Zd)的一个框架.矩阵A,A˜,G以及矩阵A˜的互相关性μ(A˜)定义如上.记P和Q为
公式 (10)
若μ(A˜)<1/(d−1),则对任意的x∈l2(Zd)有以下结论成立:
公式 (11)
证明任取x∈l2(Zd),易知xTA˜的范数为
矩阵3
结合P和Q的定义,有
矩阵4
即
公式(12)
又知
公式 (13)
结合式(12)和式(13)得
公式 (14)
一方面,利用结论G≤I+μ(A˜)(1−I),xT1x=(∑i=1dxi)2≤(∑i=1d|xi|)2=|x|21以及关于长度为d的向量的范数不等式|x|21≤d|x|22,得到∣∣xTA˜∣∣22的上界的结论:
矩阵5
另一方面,利用结论G≥I−μ(A˜)(1−I),类似地可以得到∣∣xTA˜∣∣22下界的结论:
矩阵6
综上,
公式 (15)
将式(15)代入到式(14)可得
表达式
设w∈l2(ZN），下面定理简单刻画了{R{w}N-1k=0生成l2(ZN）的框架的充要条件．
定理2.2设w∈l2(ZN),C和D为常数，0<C≤D<+#，则{R{w}N-1k=0生成l2(ZN）的界为C和D的框架，当且仅当
公式 (16)
证明必要性:若{Rkw}N−1k=0生成l2(EuclidMathTwoZA@N)的界为C和D的框架,则
表达式
再由引理1.1知上式等价于
公式 (17)
而∑k=0N−1|⟨z,Rkw⟩|2的等价形式如下:
矩阵7
若zˆ的只有第n个分量是1,其它分量都为零,则得C≤|wˆ(n−1)|≤D.如果n从1到N依次取值,可得式(16)成立.
充分性:若式(16)成立,显然有式(17)成立,易得期望结论.
设w∈l2(ZN),{R{w}N-1k=0生成l2(ZN）的框架，定义矩阵W=Rk(w(n))N-1k,n=0.
根据互相关性的定义μ(W)=max0≤m,n≤N−1∑k=0N−1∣∣Rkw(m)Rkw(n)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯∣∣.进一步,可类似地定义ν(W)=min0≤m,n≤N−1∑N−1k=0∣∣Rkw(m)Rkw(n)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯∣∣.
定理2.3设w∈l2(ZN),{Rkw}N−1k=0生成l2(ZN)的框架,矩阵W,μ(W)和ν(W)定义如上.如果ν(W)>0,任意的满足z(n)≥0,n∈ZN,则有
公式 (18)
证明任取满足z(n)≥0,n∈ZN.易知
矩阵8
根据μ(W)和ν(W)的定义,得
公式 (19)
而
表达式
再由C(P)不等式知
公式 (20)
将该不等式代入式(19)得
表达式
根据l2(ZN)中范数的定义,期望结果得证.
参考文献：
[7]鲁大勇,樊启斌.框架提升的两种方案[J].数学物理学报,2010,30(3):603-612.
[9]李登峰,田小现,王励冰.小波型框架的性质[J].河南大学学报(自然科学版),2012,42(1):1-8.
[10]鲁大勇,安岩.Sobolev空间中平移框架的几个结果[J].河南大学学报(自然科学版),2012,42(1):9-12.
[11]李艳婷,李登峰.广义框架的近似对偶框架的构造及扰动[J].河南大学学报(自然科学版),2015,45(2):127-130.
韩玉齐,鲁大勇.基于矩阵互相关性的框架界估计[J].河南大学学报(自然科学版),2020,50(03):373-378.
基金:国家自然科学基金(61471410);河南省教育厅科技攻关项目(13A110072);河南省科技厅项目(122300410381)
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期刊名称：数学的实践与认识
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