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基于新工科探讨线性代数教学革新
摘要：新工科的内涵是培养多元化、创新型卓越工程人才，为未来提供智力和人才支撑，线性代数是工程人才培养过程中的一门重要课程。本文对新工科建设理念影响下线性代数教育教学的状况进行阐述，基于大学生学习心理及线性代数教学范式改革，探讨数学建模思想与线性代数教学融合路径，并对“新工科”背景下线性代数教学案例展开了分析。
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一、“新工科”建设及线性代数教学现状分析
“新工科”是基于国家经济发展进入新常态，高等教育迎来新挑战而提出的教育改革新方向，其目标是培养具有创新能力、高素质的适应经济产业发展的卓越工程人才。“新工科”建设要求提高教育教学质量，并提出新的质量标准，即工程人才培养质量要面向未来。新工科必须通过人才培养理念的升华、体制机制的改革以及培养模式的创新应对现代社会的快速变化和未来不确定的变革挑战。[1]
作为“新工科”建设的重要内容，线性代数课程作为普通高校理工、经济和管理等专业的一门基础数学必修课，对数学文化的普及、学生抽象思维的培养等具有不可替代的作用。随着我国经济发展进入新常态，线性代数已经广泛应用到金融、经济、信息等领域。
受传统教学习惯的影响，目前线性代数课程主要围绕知识信息的传授，对理论背后思想及其实际背景意义讲授较少。对于课时少、抽象难懂的线性代数教学而言，如何通过改进教学方法，激发学生学习兴趣，让学生能够轻松接受所学内容，并且能够运用其解决实际问题，为新工科建设发展打下坚实的基础显得尤为重要。
二、基于学习心理需求的教学模式改革
社会越来越关注教育质量，大学生学习行为的投入与学业成就息息相关，大学生学习心理是影响其学习的主要因素之一。大学生学习心理是指大学生在学习过程中受各种内在与外在的、智力与非智力因素影响或刺激而形成的心理反应。探究大学生的学习心理，对提高学生学习能力、改善教学方法具有重要作用。
当前大学生学习方面出现了一些困扰问题，体现出复杂性、矛盾性、变化性、消极性的特点，主要表现在以下方面：①缺乏学习动机，学习目的不明确。学习动机过于功利化，只停留在满足愿望的层面。学习内容多关于社会实惠性、功利性方面，只是为了考试而学习，仍倾向于应试教育。②缺乏学习兴趣，对于学习内容最多只能应付考试，并不能将其应用到现实生活中。③学习内容浮浅，缺乏自学能力。受应试教育的影响，学生一味地等待教师灌输知识，缺乏自己动手探索新知识的精神。[2]
新工科背景下以培养人才为目的的线性代数教学改革，通俗而言是教学范式的根本转型，即从“知识传递型”教学转变为“知识建构型”教学。作为一种行为主义教学观的“知识传递型”教学，知识主要靠练习获得，教师的作用主要是传递知识，学生只是程序性地获得知识，学习动机主要靠外部强化；“知识建构型”教学是一种认知主义教学观，习得知识主要靠自主建构，学生要结合自身已掌握知识形成知识网络框架来获取新知识，教师的作用转变为引导学生建构知识。在科技发达、信息量巨大的当下，教育方式必须转变，才能适应新工科背景下应用型人才培养的新要求。因此，在新工科背景下，结合大学生的学习心理认知，将数学建模新思想融入线性代数中具有很强的实际意义。
三、数学建模思想与线性代数教学融合路径
理论联系实际，知识紧扣应用。数学建模不仅使学生掌握抽象的代数知识，还可以培养学生的运算能力和综合运用所学知识去分析、解决问题的能力，两者的融合可从以下三个路径开展：
1. 结合实际问题，激发学生的学习兴趣。线性代数本质是实际问题抽象出来的数学语言，要想增强对这门课的理解就需要适当地回归到实际问题中，厘清每个概念定理的背景，自然而然地引入每个知识点。引入最新科技前沿的案例，引导学生挖掘线性代数的丰富内涵，让学生体会到线性代数的广泛应用，激发学生的学习兴趣，培养他们的实践应用能力。如在讲解矩阵的乘法时，可以结合图像的变换。随着电子科技的不断发展，图形的几何变换应用在动画片制作、仿真模拟设计、电子游戏开发等诸多领域，图形的平移、旋转、缩放等都能由矩阵实现，这能够让学生很好地理解矩阵乘法概念及其在实际生活中的用处；再如讲授矩阵的逆时，教师可以结合密码的编译，说明矩阵的破译过程就是求逆的过程，让学生深刻掌握这一概念。
2. 通过模型建立，引入理论知识。在线性代数教学中融入数学建模思想，促进理论知识与实际问题的结合，利用讲解一道数学建模问题引出所学知识点，更加深了学生对知识点的印象与理解。例如，可以通过网络流模型引出线性方程组求解问题的讲解。在交通、电力、运输、通讯、城市规划、任务分配以及计算机辅助设计等诸多领域，网络流模型得到广泛应用，给工程问题的解决带来诸多便利，一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成，大多数网络流模型中的方程组包含数百个线性方程，要确定每一分支的流量就是解线性方程组，利用矩阵的一些特性，自然而然地引入线性方程组的相关知识点。
3. 加强建模训练，培养动手能力。仅仅通过教师的讲解，学生可能只是一时豁然开朗，并不能自己去解决实际问题，还需多加训练。因此，课后作业可以不再只布置一些与考试有关的内容，而应增加学生自主学习的机会，布置一些贴近生活实际的问题，让学生自主动手动脑研究思考，课上交流心得收获，并鼓励学生充分利用现代科技软件进行数学建模分析研究，最终达到学生思维活跃敏捷、动手能力强的效果。
四、“新工科”背景下线性代数教学案例
数学建模思想融入教学是利用数学建模思想来解决数学问题，即将问题简化，根据简化后的问题寻找基本规律，在对客观规律进行分析后，通过表象发现本质，提高学生运用知识的能力。以应用实例来说明。
1. 数学建模思想在矩阵计算方面的应用。计算机网络技术快速发展，信息化以及网络数据化已经是大势所趋。上网者主要靠搜索引擎获取信息，获得满意结果的背后主要是PageRank算法在起作用，PageR⁃ank算法的搜索结果主要按照网页的重要性来排序，可以通过网页的投票数这一概念来界定网页的重要性，网页投票数可以理解为网页的链接数。PageRank的核心思想是：①若某一网页的投票数即链接网页多就说明这个网页相对重要，即PageRank值较高；②网页的pagerank值会随着链接到其他网页的pagerank值大小变化而变化。简而言之，通过PageRank可以大体计算上网者在各个网页上的概率，上网者先随机打开一个网页，然后在网页上的跳转满足随机性。现假定网页链接是一个有向图，网页是结点，网页间的链接用箭头表示，如图1所示：求上网者最终在网页1，2，3，4上的概率。
（1）模型假设。①假设可访问网页总数为n，网页W能链接到m个网页，网络链接矩阵定义为
,其中
若网页j有一链接跳转到网页(i,j=1,2,3,4)②假设网页W的投票数越多，则网页W越重要；③假设指向网页W的质量越高，则W越重要。
（2）模型建立：本例中含有4个网页，假设上网者目前在浏览网页1，则此上网者分别有13的概率链接到网页2，3，4，其中13中的分母3表示网页1可链接到其他3个网页，即若一个网页能连接到m个网页，则随机转到其他任一网页的概率为1m，其他网页的跳转概率也可由此方法得到，由此可得上图对应的转移矩阵为：
（3）模型求解。初始时上网者在每一网页的概率假设相等即为1n，所以最开始的概率分布为所有值都为1n的n维列向量，此例中列向量:
则可通过公式Q1=PQ0得到跳转一次后的概率分布向量Q1：
可见Pij≠0表示有一链接从网页j指向网页i，则q11表示所有网页到网页1的概率为924；以此类推，可以求出跳转任意次的概率分布向量，当跳转无穷次时Q会收敛，即Qn=PQn-1，通过不停地迭代，最终可以得到:
即最终上网者停留在网页1的概率为39，在网页2，3，4的概率为29。此例讲解的是最简单的PageRank模型，让学生初步了解了搜索引擎背后的原理，在今后的学习中能够知道所学习的矩阵的用处，灵活运用理论知识。PageRank算法还可运用在城市交通轨道站点选址、基础网络设计等问题中，可提高选址的准确性与有效性。
2. 数学建模思想在逆矩阵方面的应用。在科技发达、信息技术不断发展的今天，信息安全问题时有发生，保密通信工作提上日程，保密通信模型是实现信息安全的一种有效方法。矩阵是线性代数课程中的重要内容，是工科中常用的有效工具，其在保密通信模型中有着突出贡献。下面主要介绍融入数学建模思想的可逆矩阵加密技术。[3]
（1）保密通信数学模型。保密通信模型的两个重要组成部分是发送方的明文串和接收方的密文串，加密信息传输过程主要包括发送方将需要传输的信息通过某种自定义算法转换成密文发送给接收方，经过相应的算法，接收方再将接收到的密文转换为明文信息。简要的通信技术模型如图2.显然要使信息传输有效，密文串必须能被翻译成明文串。假设明文串数据接收方未知为X，密文矩阵为A，有方程A=BX，可见B为发送方向接收方传送信息的加密矩阵，若B可逆方程组有唯一解，B-1为接收方的解密矩阵，这样接收方就可通过X=B-1A获得明文信息。又由矩阵的乘法可知，要想求出结果，左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的行数，所以在设计加密矩阵B时应注意此规则。
（2）保密通信数学模型的应用案例。在某次机密谈判中，假设甲方需将明文good加密发出，可将26个英文字母分别与数字1-26一一对应，并且双方假定加密矩阵为:
甲方要发出去的明文转换为代码分别为7，15，15，4，根据矩阵乘法原则及加密矩阵的阶数，确定明文矩阵为:
，再根据矩阵方程A=BX，得密文矩阵A：
也就是最终明文信息以数字代码37，22，25，19发出。当乙方收到密文矩阵时，可以利用双方协定好的加密矩阵:
获取有用信息明文矩阵X：
将明文矩阵代码转换为英文即为good，乙方在不失信息安全的情况下获得了双方约定的有用信息。而此处又有:
此密文串无法转换成原来的明文串good，也就说明B-1A与AB-1的表达意义并不一样。通过以上保密通信数学模型的讲解，让学生进一步巩固了矩阵乘法的运用，又学到了有关矩阵的逆的相关概念；同时有AB-1≠AB-1，可以让学生清晰地掌握求解矩阵方程组时要注意是左乘还是右乘，以及矩阵的乘法不满足交换律。在满足学生学习兴趣的同时，结合现代社会需求，让学生通过一个模型掌握了线性代数中多个重要的知识点。
基于培养学生知识应用能力，将数学建模思想融入线性代数教学的改革，顺应“新工科”建设培养创新型、应用型高素质人才的诉求。本研究结合大学生学习心理的研究，给出了符合时代发展要求的创新型案例，旨在培养学生对数学的学习兴趣，锻炼学生理论联系实际的能力，让学生能够真正运用所学知识分析、解决现实问题，养成良好的分析问题、解决问题的习惯，使工科学生能够得心应手地运用数学知识解决自己学科领域的问题。本文中给出的案例也只是基础性的，在线性代数课程中融入数学建模思想的教学改革仍处在探索阶段，还需要更加深入的实践研究。
参考文献：
[1]钟登华.新工科建设的内涵与行动[J].高等工程教育研究,2017,(3):1-6.
[2]杜允.大学生学习心理研究述评[J].南阳师范学院学报,2012,11(11):101-103+107.
[3]张新文,王佳.基于可逆矩阵加密技术的保密通信数学模型[J].西南师范大学学报(自然科学版),2017,42(2):166-170.
李清华,葛君琰.新工科背景下线性代数教学改革初探[J].新课程研究:下旬,2019(8):36-39.
分享：
1、基于核心素养视角的线性代数教学改革研究与实践2、三角形网格上形态开闭算子的研究3、浅谈线性代数教学中的直觉思维的培养4、工科数学课程群建设5、培养综合应用能力的离散数学教学改革研究6、疫情期间线性代数课程线上教学模式探索7、线性代数课程应用能力的培养途径和方法研究——以软件工程专业的教学实践为例8、基于独立学院的高等代数教学研究
2020-08-11
“线性代数”是工科类本科生的专业基础课程，其主要处理线性关系问题。课程的内容主要包括基础概念—行列式、矩阵及其运算；基本变换—矩阵的初等变换与线性方程组，向量组的线性相关性；以及线性问题分析—相似矩阵及二次型等内容。采用MATLAB解决矩阵特征值问题的相关教学实践论文已有报道[3]，此外，将微课应用到线性代数的教学中也取得了良好的效果[4]。
2020-08-10
独立学院,也常称为独立二级学院,是由公办普通本科院校与社会力量联合举办的相对独立的二级学院.独立学院数量众多,招生人数众多,招生录取分数线普遍较低.为了适应社会发展对人才的需求,绝大多数独立学院的人才培养定位为“应用型”人才.在开办之初,很多独立学院是照搬母体高校的课程体系和教学模式,但是由于独立学院学生的基础较母体高校的学生之间存在着较大差异,教学上很难达到独立学院人才培养的要求,其中数学课程教学中出现的问题尤为突出.
2020-08-10
2020年春季学期，哈尔滨理工大学线性代数课程网络教学如期开课，哈尔滨理工大学理学院数学系线性代数课程教学团队结合学习通平台、微信群和腾讯QQ与学生保持互动学习，并建立基于网络、手机、电脑的教学新模式，基于学校自建课程进行混合式教学，立足本校学生学情和需要，使线上线下的混合式教学很好地衔接。教学模式信息化的改革，增添了教学活力，促进了教学互动，并且较高效率地完成教学任务，达到了教学大纲要求的教学效果。
2020-08-10
外汇储备作为我国关键形式的储备资产,同时又是我国基础货币投放的主要渠道。自1994年我国实行以市场供求为基础、有管理的浮动汇率制度以来,我国外汇储备规模大幅扩大,从2006年开始,我国外汇储备规模位列世界第一,外汇储备的增加有提升国家声誉,吸引外商投资和拉动国民经济等积极影响。
2020-08-04
在线性代数教学中,求矩阵的幂、判定矩阵对角化、求解特征值的反问题、判定矩阵合同关系以及判定实二次型的正定性等问题都可以借助于矩阵特征值与特征向量实现。本文对这些问题进行了归纳与分析,以便学生能够熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法,熟悉特征值与特征向量在线性代数教学中的应用。
2020-06-28
数学作为工科院校的一门基础课，对学生学好专业课起着至关重要的作用。通常情况下，工科院校开设的数学课程主要包括高等数学、概率与数理统计、线性代数、积分变换等，在这些课程中，普遍存在“教师难教，学生难学的现象，特别是线性代数，表现得更为突出。文章从教师的教学策略和学生的学习方法两个方面提出了工科线性代数教学策略。
2020-06-28
目前,关于连续函数空间中基于框架的构造、性质、函数空间刻画及其在信息处理中的应用已经得到了完善与发展。然而,在实际应用中,由于输入/输出数据和滤波器都是离散的,所以基于框架的算法实现都是在数字环境中完成的。基于数字的框架又名为离散空间中的框架,并不一定能够通过连续环境中的框架离散化得到,即使可以得到,也必须附加许多条件。
2020-06-28
众所周知,代数闭域K上的Sylvester矩阵方程AX-XB=C有唯一解当且仅当矩阵A和矩阵B无公共特征向量。为深入讨论,利用Sylvester算子研究了Sylvester矩阵方程在任意域K上的可解性,得到其有唯一解当且仅当A和B的特征多项式无公共素因式的结论。在Sylvester矩阵方程有解的情况下,给出了其多项式解。
2020-06-28
广义柔度矩阵可利用低阶模态参数近似表示,因此受到广泛关注.本文基于广义柔度矩阵引入广义模态柔度矩阵,利用Nelson方法计算其对损伤参数的敏感性.本文提出的损伤定位方法,相比于现有方法,在振型数据不完整及含有噪声的情况下,该方法具有使用模态参数少,定位的损伤单元数比实际损伤单元数略多且不遗漏损伤单元等特点.
2020-06-28
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期刊名称：数学的实践与认识
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主管单位：中国科学院
主办单位：中国科学院数学与系统科学研究院
出版地方：北京
专业分类：科学
国际刊号：1000-0984
国内刊号：11-2018/O1
邮发代号：2-809
创刊时间：1971年
发行周期：半月刊
期刊开本：16开
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2020-03-27
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