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基于理想状态探讨同心鼓策略
摘要：文章研究的是在理想状态下同心鼓的协作最优策略。假设平衡状态后的排球与鼓的碰撞点为定点，考虑空气阻力的影响以及人数的不确定性，研究平衡状态后的运动过程，文章由动量守恒和动能守恒建立微分方程，由目标规划得到了策略模型，最后进行求解，得到最佳策略。
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同心鼓扩展项目的目标是使得连续颠球的次数尽可能多。该活动使用的牛皮双面鼓半径r为40cm，高度为22cm，质量m为3.6kg。项目开始时，质量m为3.6kg的球从鼓面中心上方0.4m处竖直下落，队员通过牵拉绳子将球颠起的高度应高于鼓面0.4m，否则项目结束。本文研究了在每个人都可以精确控制用力方向、时机和力度的情况下，团队的最佳协作策略，并计算出该策略下的颠球高度。
1、模型的建立与求解
1.1基本假设
(1)假设排球与鼓的碰撞为完全弹性碰撞;(2)忽略鼓在运动过程中所受的空气阻力，忽略绳子的质量;(3)假设队员均站立不动，且绕鼓均匀分布;(4)假设排球与鼓的碰撞会趋于一种平衡，平衡后碰撞点为定点;(5)忽略鼓的双面牛皮的质量，且鼓的质量分布均匀。
1.2问题一模型的建立
Step1．由相关文献[1]可得排球的空气阻力模型:
其中，D为排球运动过程中所受的
空气阻力;C0为阻力系数(球体孤立的情况下为0.19);S为物体的横截面积(排球的横截面积为0.034664m2);
r为大气比重(常数1.29);v为物体运动速度;g为重力加速度(取9.8m/s2)。为方便起见，令为k，即空气阻力为:kv2。
对处于平衡状态时下降的排球初速度为零，进行受力分析得:
以上可求出不带常数项的V1(t)。
对V1(t)积分得到下降高度的关系式h1(t):
从开始下降到发生碰撞前所用的时间为t1，碰撞前的速度最大为v1，下降的高度为h1(t1)，记做h1。由能量守恒，得:
其中，W1为下落过程中排球的空气阻力做的功，mgh1为重力做功，为动能。
Step2．平衡状态后，排球上升过程中受力分析得:
排球上升到最高点时，速度减为零，求得碰撞后上升到最高点所用的时间t2，即:V2(t2)=0。
对V2(t)积分得到下降高度的关系式h2(t):
上升过程中，总时间为t2，初速度为V2，上升高度为h2(t2)，记做h2，下降高度与上升高度相同，则:
由能量守恒，得
其中，W2为上升过程中排球的空气阻力做的功，mgh2为重力做功，为动能。
Step3．以鼓为研究对象，分析图如下:
鼓初始运动时的分析简图
L为绳子的长度，h0为鼓未向上运动时，与绳子末端的竖直高度，h3(t)为这个高度的与时间t的关系式，随着鼓向上运动，绳子末端与鼓的竖直高度变为h0-h3(t)且h3(0)=h0。
对鼓受力分析得:
其中，x为队员数，Fsinθ为一个队员的拉力F在竖直方向上的分力，xFsinθ为鼓总共受到的向上的力，Mg为鼓的重力。
求解微分方程得出V3(t)。对V3积分求得h3(t):
由能量守恒求得拉力做的功WF为:
Step4．碰撞过程中，满足完全弹性碰撞，即满足动量守恒和动能守恒，由动量守恒和动能守恒得:
Step5．项目的目标为使颠球的次数尽可能多，本文将这个目标转换为可度量的功的大小，即单个队员所做的功最小。队员每人牵拉一根连接鼓身的绳子的末端，人数不得少于8人，队员之间的最小距离不得小于0.6m。令绳长为L，队员总数为x，相邻两名队员所拉绳子形成的夹角为β。
建立目标规划:
1.3模型的求解
(1)由于碰撞不会第一次就达到平衡状态，因此让队员们第一次的发力略大于平衡状态时的用力，使排球与鼓第一次碰撞之后，就达到平衡状态。
(2)从最优策略出发，当上升高度正好为0.4m的时候，每个人的用力达到最小。当每个人的距离正好为0.6m时，绳子的长度达到最短，所用的绳子最少。人工求解目标二元函数的极值点，该极值点为最优解:人数20人，每个人的用力大小为51N，绳长为1.72m，初始位置较绳子水平时的高度为0.2559m。
2、结语
本文对运动过程进行了适当简化，分析了在理想情况下，即每个人都可以精准控制用力时，同心鼓项目的最优协作策略，本文所建立的模型，为同心鼓相关研究提供了依据，对该项活动的开展具有一定的指导意义。
参考文献：
[1]顾伟农,焦峪平.空气阻力对排球正面上手发球水平方向飞行距离的影响实验分析[J].兵团教育学院学报,2002(3).
刘晓扣,管仁永,姜国柱.理想状态下的同心鼓策略研究[J].科技风,2020(15):267+269.
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理论力学是一门理论性较强的专业技术基础课。它是研究力学中最普遍、最基本的规律，是后续力学课程的重要基础[1]。受力分析是理论力学教学中极其重要的教学内容，是学好其它力学课程的根基。倘若这部分内容掌握不好，就不利于后续理论力学内容和其它力学课程的顺利学习。
2020-08-10
理论力学是一门理论性较强的专业技术基础课。它是研究力学中最普遍、最基本的规律，是后续力学课程的重要基础[1]。受力分析是理论力学教学中极其重要的教学内容，是学好其它力学课程的根基。倘若这部分内容掌握不好，就不利于后续理论力学内容和其它力学课程的顺利学习。受力分析在中学和大学物理课程中已经学习过，学生有些基础。
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期刊名称：力学学报
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主管单位：中国科学院
主办单位：中国科学院力学研究所
出版地方：北京
专业分类：科学
国际刊号：0459-1879
国内刊号：11-2062/O3
邮发代号： 2-814
创刊时间：1957年
发行周期：双月刊
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2020-05-25
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