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具多比例时滞的双向联想记忆忆阻神经网络的无源性

2024-12-03 71 上传者：管理员

摘要：在Filippov解的框架下，通过构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函，利用不等式性质、Schur补引理、集值映射理论和右侧不连续的泛函微分方程理论研究了具有多比例时滞的双向联想记忆(Bidirectional Associative Memory, BAM)忆阻神经网络的无源性问题。针对系统的多比例时滞项，采用非线性变换对其进行了变形处理，成功地建立了具有多比例时滞的BAM忆阻神经网络无源性的充分条件。这些条件不仅揭示了系统参数与无源性之间的关系，还为设计稳定、可靠且具有良好无源性的BAM忆阻神经网络提供了理论依据和指导。最后，通过两个例子验证了基于线性矩阵不等式结论的有效性。不仅深化了对BAM忆阻神经网络动态行为的理解，还为该类型网络在实际应用中的设计和优化提供了新的视角。

关键词：
动力系统
多比例时滞
忆阻器
无源性
神经网络
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忆阻器拥有连续可变的电导状态、纳米级尺寸、学习以及记忆能力，在神经网络领域拥有巨大的应用优势。基于忆阻器的神经网络，行之有效地解决了许多传统数字计算机难以进行处理的实际问题，展现出了良好的智能特征。从系统控制论的角度看，基于忆阻器的神经网络是一种系数依赖于状态的微分系统。同时也是一种右端不连续的动力系统，并且具有状态切换的不确定性，因而比较容易产生变化莫测的非线性行为。显然，传统的连续系统的动力学行为理论体系已经不能满足目前忆阻神经网络研究发展的需要。

作为耗散性的一种特例，无源性理论的提出源于电气网络理论，由Bevelevich于1968年首次提出。1975年，Desoer和Vidyasagar[1]研究了系统稳定性与其无源性之间的关系，为基于输入输出的无源性设计的发展奠定了坚实的基础，随后无源性相关理论逐步形成。无源性理论的核心是确保系统的内部稳定。该理论在动力系统稳定性分析、同步分析与混沌控制等方面具有广泛的应用[2–9]。

多比例时滞作为无界时变时滞的一个特例是信号传输过程中常见的时滞类型，一般可以将其表示为τ(t)=(1-q)t,0<q<1。由其函数结构特点，可知随着时间的增加，多比例时滞函数将同时呈现出单调增加的特性[10]。2017年，文献[11]研究了一类具有多比例和泄漏时滞的中立型Hopﬁeld神经网络。基于微分不等式理论，得到了该中立型Hopﬁeld神经网络的所有解指数收敛到零向量的几个充分条件。

目前基于忆阻器的神经网络的动力学行为及其控制的研究虽然还处于起步阶段，但也已经取得了一些令人欣喜的研究成果[12–24]。2019年，文献[7]重点研究了基于反应扩散的忆阻神经网络的无源性，通过构造适当的Lyapunov泛函，获得了确定上述系统无源性、输出和输入严格无源性的以线性矩阵不等式表示的充分条件。综合而言，目前针对基于忆阻器神经网络的研究在蓬勃发展的同时依然存在诸多的理论问题亟待解决，如在基于忆阻器的神经网络框理论体系下，分析具有多比例时滞的神经网络系统的稳定性、无源性和H∞控制等。

针对目前的研究现状，本文在Filippov解的框架下，利用Lyapunov-Krasovskii泛函、不等式性质、Schur补引理和集值映射理论研究具有多比例时滞的忆阻双向联想记忆(BAM)神经网络的无源性问题。

符号说明：表示(·)的凸闭包；P>0 (<0)表示正定(负定)矩阵；I为具有合适维数的单位矩阵。

1、模型与预备知识

考虑如下具有多比例时滞的忆阻双向联想记忆神经网络模型

其中xi(t)和yj(t)分别表示X层第i个神经元和Y层第j个神经元在t时刻的状态；ai>0和dj>0代表神经元的自反馈；fj(yj(·))和gi(xi(·))为神经元的激励函数；G(t)=[f1(y1(t)),···,fm(ym(t),g1(x1(t),···,gn(xn(t))]T是神经网络的输出；ω(t)=[ω1(t),ω2(t),···,ωn(t)]T和代表系统的外部输入；0<r1,r2,q1,q2≤1且满足

注意到(1-r1)t、(1-r2)t、(1-q1)t和(1-q2)t满足当时，有

bij(xi(t))、cij(xi(t))、βij(xi(t))、eji(yj(t))、kji(yj(t))和γji(yj(t))表示忆阻连接权重，且可以写为

其中

分别表示忆阻R1ij、R2ij、R3ij、F1ji、F2ji和F3ji的忆感。R1ij代表穿过xi(t)和fj(yj(r1t))的忆阻，R2ij代表穿过xi(t)和fj(yj(q1t))的忆阻，R3ij代表穿过xi(t)和fj(yj(t))的忆阻，F1ji代表穿过yj(t)和gi(xi(r2t))的忆阻，F2ji代表穿过yj(t)和gi(xi(q2t))的忆阻，F3ji代表穿过yj(t)和gi(x(t))的忆阻。结合忆阻装置的物理结构，可知

这里ιkij和分别是对应忆阻Rkij和Fkij的电荷，δkij和分别是对应忆阻Rkij和Fkij的磁通量，忆阻阻值R(ιkij)和分别是对应忆阻Rkij和Fkij的逻辑电荷控制的阻值，ROFF表示高阻值，RON代表低阻值，υv代表离子平均迁移率，D代表半导体薄膜厚度[25]。依照忆阻的特性和其电流–电压特征[25]，令

其中切换界值均为常数。

设系统(1)的初始条件如下

接下来，令

系统(1)是一个不连续的动力系统，拥有非光滑动力学行为，为克服定性分析系统(1)的内在困难，在Filippov解的数学框架内，采用文献[25–26]中提出的方法，根据集值映射和微分泛函，得系统(1)可以表述为

或等价地，存在，使得系统(3)可以表示为

针对系统中的多比例时滞项，考虑令

则

通过式(6)，可以知道

设et=z，则式(7)可以变形为

由系统(4)可得

将式(8)代入系统(9)，可得

根据式(5)，可得

这里τ1=-lnr1,ξ1=-lnq1,τ2=-lnr2,ξ2=-lnq2。记K(t)=G(et)，则系统(10)可以等价地变形为

这里。记

则系统(15)可以变形为

系统(15)的初始条件可写为

其中η1=max{τ1,ξ1},η2=max{τ2,ξ2}。

为了获得主要结果，给出定义、假设和引理如下。

定义1[27]若存在一个实数α，使得下列不等式

对于所有tp≥0和系统(16)的所有初始值为零的解成立，则称系统(16)是无源的。

假设1设gi(0)=fj(0)=0。同时，存在正数Gi和Fj，使得对于任意不相等的实数α和β，下列不等式

成立，其中i=1,2,···,n,j=1,2,···,m。

引理1[28]假设W和U为任意矩阵，ε为任意正数，矩阵满足D=DT>0，则下列不等式

成立。

引理2[29]设矩阵W>0，实数γ2>γ1，则向量函数x(t):[γ1,γ2]→Rn满足下列不等式

2、主要结论

定理1若系统(1)满足假设1，并且存在正定对角矩阵

及正实数α、ε、ε′、εi(i=1,2,···,12)，使得下列不等式组

成立，则系统(1)是无源的，其中

证明构造如下正定的Lyapunov泛函

其中

针对系统(16),求导可得

接下来，基于引理1和引理2，可得

进一步地，依据引理1，可得

综合式(19)∼(41)，可得

其中

结合Schur补引理，可得

成立等价于式(17)和式(18)成立。因而，在式(17)和式(18)成立的前提下，有

针对式(43)，积分可得

这里tp≥0。因而，根据定义1，系统(1)是无源的。定理1得证。

注1在不包含多比例时滞的情况下，系统(1)可以简化为

基于系统(45)可得下述定理。

定理2若系统(45)满足假设1，并且存在正定对角矩阵

及正实数α、ε、ε′、εi(i=1,2,···,8)，使得下列不等式组

成立，则系统(45)是无源的，其中

证明构造如下正定的Lyapunov泛函

其中

接下来可以采取与定理1类似的证明过程，对定理2进行证明，详细过程略。

3、数值仿真

例1考虑具有如下系数的神经网络(1):

根据Matlab的计算结果，可得定理1的一组可行解为

由定理1可得，系统(1)是无源的。取系统的初始条件为

经过Matlab仿真，可以得到系统(1)中的x(t)和y(t)的状态曲线，如图1所示。

图1 例1中x(t)和y(t)的状态曲线

例2考虑具有如下系数的神经网络(45):

根据Matlab的计算，可得定理2的一组可行解为

由定理2可得，系统(45)是无源的。取系统的初始条件为

经过Matlab仿真，可以得到系统(45)中的x(t)和y(t)的状态曲线，如图2所示。

4、结论

本文在Filippov解的框架下，利用Lyapunov-Krasovskii泛函、Schur补引理以及非线性变换，研究了具有多比例时滞的忆阻双向联想记忆神经网络的无源性。最后，通过两个仿真例子，验证了所得结论的有效性。

图2 例2中x(t)和y(t)的状态曲线

基金资助:国家自然科学基金(61907010);广东省教育厅普通高校重点领域专项(2020ZDZX3051)~~;

文章来源:王芬.具多比例时滞的双向联想记忆忆阻神经网络的无源性[J].工程数学学报,2024,41(06):1053-1073.

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期刊名称：工程数学学报

期刊人气：1892

期刊详情

主管单位：中华人民共和国教育部

主办单位：西安交通大学

出版地方：陕西

专业分类：科学

国际刊号：1005-3085

国内刊号：西安市碑林区咸宁西路28号西安交通大学数学与统计学院

创刊时间：1984年

发行周期：双月刊

期刊开本：16开

见刊时间：一年半以上

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