贵州大学的马克俭院士团队于1995年提出了空腹夹层板的楼盖体系[1],目前广泛用于高层建筑和大跨度建筑当中。空腹夹层板由上下肋梁、剪力键和表面薄板组成(如图1所示),以其建造使用的材料不同可分为钢筋混凝土空腹夹层版(如图2(a)所示)、钢空腹夹层板(如图2(b)所示)及组合结构空腹夹层板3类。在组合结构空腹夹层板设计中，常见的有板面采用钢筋混凝土板，而上下肋梁和剪力键则使用钢材(如图2(c)所示);也有下肋梁用U型钢包裹混凝土，其他部分采用钢筋混凝土建造(如图2(d)所示)。建造材料的多样性给予了空腹夹层板更大的设计空间，使其能发挥出自身自重低、刚度好、跨度大的优势。但同时也带给空腹夹层板设计难度大，计算难度高等问题。

图1空腹夹层板构造

不少学者就空腹夹层板的计算方法展开了一系列思考。张华刚等[2]提出了静力计算的实用方法，采用刚度等代的方式将空腹夹层板等代为交叉梁结构，结合结构分析软件计算出内力与变形。此方法目前编写在中国空腹夹层板地方规程中[3- 4],由于没有考虑剪切刚度影响，计算精度有限。考虑到剪切刚度，肖建春教授等提出了线弹性下计算等效剪切刚度的数值方法[5- 6],将空腹梁的单个网格等效为实腹梁进行计算。此方法是目前主流的计算空腹夹层板的夹心层剪切刚度的方法，但由于此法没有完全考虑空腹夹层板的空间构造特性和结构由多种材料构造的情况，计算结果仍有一定误差。有限元法计算空腹夹层板常采用实体单元进行建模，姚玲等[7- 9]证明采用实体单元建立空腹夹层板模型进行计算较为精准，其精度与分化网格的大小相关，往往要求的高精度会带来严重的计算压力，难用于大型结构设计当中。

空腹夹层板以其独特的结构可被分成多个网格的组合，单个网格则类似于拥有上下表层薄板的夹层板结构，采用这种模型计算空腹夹层板受力性能也是目前的研究方法之一。马克俭教授等[1,10- 11]考虑剪切刚度影响，采用此拟夹层板法方法给出一个十阶偏微分方程，此方法能给出几种特殊条件的解析解，但对于一般条件而言，难以得到解析解；张华刚等[12]采用此方法得到了空腹夹层板的内力方程，但同样求解难度较大；刘丁源等[13]将空腹夹层板分为四层并采用变分法列出其挠度方程，但由于式中仍然沿用之前研究的等效剪切刚度，给计算结果带来一定误差。

图2不同建造材料的空腹夹层板

要想通过计算得到较为精确的空腹夹层板的受力性能，需要得到更精确的拟夹层板模型夹心层的抗剪性能参数。目前国内外研究者对类似夹芯板结构的平面外剪切模量计算有不少研究方法：Du等[14]采用能量法计算了甲虫翅鞘网格板平面内和平面外的等效剪切模量；Shi等[15]应用数值方法改进了蜂窝板芯的平面外剪切刚度和局部剪切应力的表达式；Novak等[16]采用各项同性假设计算出了开孔泡沫的剪切模量；Penzien等[17]通过动力学方法得到了复合材料下蜂窝芯的平面外剪切模量。陈永明[18- 19]等不少学者采用能量法对研究对象进行受力分析。从以上研究可以看出，采用能量法计算夹心层的平面外等效剪切模量具有可行性，得到的平面外剪切模量可用于实际设计计算当中。

因此，本文考虑空腹夹层板结构的空间构造和建造材料，对空腹夹层板的夹心层部分进行其平面外剪切模量的计算。最后采用精细有限元方法对结果进行验证，以期望得出具有一定精度的计算方法。

1、等效剪切模量计算

1.1公式推导

按照DB 22/48—2005《钢筋混凝土空腹夹层板楼盖结构技术规程》,设计一块不带表面薄板的空腹夹层板，再提取出所需的夹心层计算单元，即包含上下肋梁及剪力键的结构，如图3所示。采用肖建春[5-6]等推导公式中的部分假设：①结构连续且梁截面形状不变；②上下肋梁的反弯点在其中间处；③公式用于结构网格数大于5的情况；④忽略扭转变形；⑤下肋梁截面积总是高于上肋梁。

先将此投影等效为相同长度和高度的等效平面梁(如图4(d)所示)。为得到上下肋梁端部荷载Q1和Q2与等效荷载Q之间的关系(荷载Q均为每单位宽度牛顿(N/m)),分别在此投影结构的上下肋梁端部施加一组对称荷载Q1、Q2和相反的单位荷载，可得到其弯矩(如图4(b)所示)以及单位剪力(如图4(c)所示)。

图3计算单元的提取

图4空腹夹层板的投影计算模型

采用图乘法计算，图乘4(b)和4(c)得到剪力键端部位移δ的表达式：

式中，Ei—构件的材料弹性模量(i=1,2,3;1—上肋梁，2—剪力键，3—下肋梁，下同);Ii—构件的惯性矩，m4;zi—构件的高度，m;a—夹心层计算网格边长，m;b—肋梁截面宽度，m;h—夹心层计算网格高度。令端部位移δ等于零，得到Q1和Q2之间的数量关系方程：

Q1=βQ2(2)式中，β—刚度控制参数，其形式为：再根据剪力键结构的受力平衡，忽略掉x方向部分的两翼并考虑等效梁的等效宽度，得到等效荷载Q与Q1、Q2的关系式：

等效梁的受力如图4(d)所示，根据等效梁的力矩平衡方程可以得到等效梁的等效荷载O(单位N/m):回到空间坐标系，再此假设夹心层的侧边上下肋梁不参与平面外受剪，如图5(a)所示，荷载f=0,由此可得荷载F=0。再将夹心层等效成一块均质体。根据式(4)和式(7)所表示的剪切荷载，可以得到此等效均质体的剪应力(单位N/m2):

式(8)—(9)符合剪应力互等定理。再根据等效均质体的剪应力计算出其应变能：

式(10)考虑了材料泊松比的影响，即

式中，Gi—构件的剪切模量；vi—构件的泊松比。与式(10)同理，原剪力键部分的应变能为：

根据功能原理，令得到剪力键等效剪切模量的方程：

1.2公式适用性分析

等效剪切模量需配合计算出等效荷载才能计算出结构实际的剪应变。从上一节推导过程可以看出，当夹心层的端部荷载Q1和Q2数量相等且上下肋梁形状、材料相同时，式(14)是成立的，这种情况体现为：

在这种情形下直接使用式(14)和式(5)进行夹心层的剪切角计算是可行的。这种情况也是比较常见的实际结构设计和使用工况，将其定义为情形1。

但是，空腹夹层板在高层建筑设计或大跨结构设计中，需要增加上下肋梁刚度，导致形状发生改变；或是使用了不同的材料建造上下肋梁，公式能否正确适用也是问题之一。假设类似情况，空腹夹层板的刚度控制参数也随之体现为：

从式(16)看出，由于上下肋梁的改变，刚度控制参数不再等于1。实际荷载与等效荷载的关系式已经不再保持相等，式(5)已不再适用。需要重新建立实际荷载与等效荷载之间的关系，由式(2)移项得到实际荷载与刚度控制参数的关系：

观察式(17),又得到此等式不相等时的3类情况，即：①上下肋梁实际荷载相同，刚度控制参数不为1;②上下肋梁实际荷载不同，刚度控制参数为1;③上下肋梁实际荷载不同，刚度控制参数也不为1。

定义情形2,即上下肋梁实际荷载相同，刚度控制参数不为1。在此情形下，式(17)变为以下形式：

为使在满足Q1=Q2的条件下满足与β的相关性，对荷载部分进行修正，加入修正系数α:

可得修正系数α数值：

α=β (20)

用修正系数α对Q1进行修正，再由式得到修正后的等效荷载关系式：

定义情形3,即上下肋梁实际荷载不同，刚度控制参数为1。在此情形下，式(17)变为以下形式：

此时由式(5)将得到两个互不等的等效荷载，不满足计算要求。改由平衡方程式可得：

定义情形4,上下肋梁实际荷载不同，刚度控制参数也不为1。在此情形下，式(17)变为以下形式：此时原有的等效荷载关系已经被破坏，只能采用式(23)计算当前的等效荷载计算。

图5等效计算模型

2、等效剪切模量公式验证

为了验证等效剪切模量的精度，建立与假设相同的夹心层结构的精细有限元模型。由于不能直接对等效剪切模量进行对比，采用该等效荷载下的等效剪切模量所计算出的切应变γe与实际荷载下的模型切应变γFe进行对比(单位rad)。模型的计算部分采用通用有限元软件Ansys2021进行，并以精细有限元模型的结果为标准，对比等效计算结果和原有公式的计算结果(以下简称原结果为式(2000))。

精细有限元模型采用实体单元Solid45建立，网格划分密度为单位尺度的0.01倍，细致的网格能为计算带来较好的精度。由于夹心层的公式没有考虑塑性部分的计算，所以材料属性取其弹性的取值。将夹心层的一侧上下肋梁端部自由度固定，相对的一侧端部施加切向荷载，另外两侧不施加荷载(如图6所示)。

图6夹心层的有限元模型的边界条件

首先是情形1,固定所有的线性荷载Q1=Q2=100N/m,仅变换a,b,z2,G2参数。在此情况下将上下肋梁高度共分成3个梁高组，每梁高组又分成10组参数不同的组，且在每个梁高组的最后一组增加了参数同时改变的对照组，共做了30组计算。所有的变换数据均处于空腹夹层板合理设计区间内。表1显示了参数变换时，等效剪切模量与有限元计算结果所得出的误差大小。可以得到，对比有限元结果的最大误差不超过16.1%。

沿表中计算例子的序号，再加上式(2000)的切应变计算结果绘制成图7(a)。更能直观地看出，等效计算结果分布较好，均处于正确计算值的两侧。而式(2000)的误差较大，仅仅是图像变化趋势相同。由此可以得到，在上下肋形状、材料相同且Q1=Q2相等时，式(14)的有着良好的精准度。

表1情形1下的误差分析

模拟情形2,令剪力键的上下肋梁所受荷载相同，只变换截面及材料数据。设定2组变换上下肋梁截面，2组变换下肋刚度，再加上1组共同变化的对照组，计算结果见表2。

由表2可以看出，等效剪切模量的计算结果与有限元计算结果进行对比，最大误差不超过16%。再将式(2000)的计算结果加入当中，得到图7(b)。式14得到的结果更加贴合有限元的计算结果，式(2000)的计算结果趋势相同但依然有所偏差。

模拟情形3,固定其他参数仅变换实际荷载。设定不同荷载下的结构2组，变更其上下肋梁荷载数值作为对照，计算结果见表3。

由表3可以看出，等效剪切模量的计算结果与有限元计算结果进行对比，误差变化较小，且不超过10%。再将式(2000)的计算结果加入当中，得到图7(c)。可以看出，式(14)得到的结果依然优于式(2000)的结果，式(14)的优势依然存在。

模拟情形4,变换剪力键上下肋梁荷载和截面参数，仅部分参数固定不变进行计算。设定2组荷载数值形式，3组结构上下肋梁截面形式，2组材料形式，计算得到表4。

从表4可以看出，采用式(14)进行计算，对比有限元计算结果误差不超过10%,依旧保持了对有限元结果的良好精度。同样将式(2000)计算结果加入并进行对比，得到图7(d)。可以看出，在情形4下式(14)的计算结果相较式(2000)大大提升，与有限元计算结果的贴合度远远优于式(2000),式(14)确实取得较好的进步。

综上所述，等效剪切模量计算公式得出计算结果在大多数情况下都能有较好的表现，其计算结果不超过有限元计算结果的16%。在对比以往研究的刚度公式后，本研究得出的等效剪切模量公式计算结果优势明显。

3、基于公式的夹心层抗剪能力分析

空腹夹层板作为屋盖及楼盖结构，常采用同种材料建造，且上下肋梁截面基本相同。考虑到这种情况，将等效剪切模量表达式(14)进行简化。首先是同种建造材料，在等式中可表示为：

表2情形2下的误差分析

表3情形3下的误差分析

表4情形4下的误差分析

图7误差分布图

上下肋梁形状、材料相同，反映在等式中有：

z1=z3=z′;β=1 (26)

由此简化式(25),得到：

式(27)中分子中的z1与分母中的h等参数互相影响，不能直观的看出对剪力键的抗剪能力的影响。不考虑误差，令剪力键高度z2与上下肋梁高度z′之比为1,式(27)还可简化为：

由式(28)得知，想要提高空腹夹层的抗剪能力，除了可以整体提高建造材料的强度外，较简单的是在结构的单元长度a与上下肋梁宽度b之比进行改变，令其比值降低能有效提高空腹夹层板的抗剪能力。

为使得更高的空腹率以及材料使用率，在工程实践当中剪力键结构的单元长度a与上下肋梁宽度b之比通常大于5,而剪力键高度z2也通常大于上下肋梁的高度z1及z3,可推得剪力键的抗剪能力一般只弱于同种材料的一到两个数量级，抗剪能力非常优秀。

从图7(a)和表1中序号(1-8-9),(11-18-19)和(21-28-29)的剪切角度变化可以看出：剪力键的材料对整体结构的抗剪能力影响有限，加强剪力键的材料强度不能使整体结构的抗剪能力有所突破。在这部分切应变的变化，式(14)与有限元结果高度一致。

4、结论

本文对空腹夹层板的夹心层分别进行等效数值计算和有限元计算，并取其计算结果进行对比，得到以下结论。

(1)使用能量法得到了夹心层平面外等效剪切模量。此模量计算时考虑了结构的空间构型和多种建造材料的泊松比影响，比以往的等效剪切刚度计算方法更具有理论完整性。

(2)针对不同受力情况，提出了4种不同情况下有效使用等效剪切模量的方法。根据多次有限元计算，结果证明夹心层平面外剪切模量具有一定计算精度，最大误差不超过20%,具有工程应用价值。

(3)空腹夹层板夹心层有着良好的抗剪性能，根据其平面外剪切模量计算式的合理简化，得到此结构的剪切模量仅小于同等材料的一到两个数量级。

(4)研究得出的夹心层平面外等效剪切模量公式精度对比之前的研究有了较大提高，以适应结构研究的发展。

(5)在不改变结构形状的前提下，改变剪力键建造的材料对整体结构的抗剪能力提升影响有限，可适当减少这部分建造材料的支出。

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基金资助:国家自然科学基金(50978064/Z091015); 贵州省自然科学基金(黔科合基础[2017]1036);

文章来源:盛夏,肖建春,郭华,等.基于能量法的空腹夹层板夹心层平面外等效剪切模量计算[J].水利规划与设计,2024,(11):88-94+99.