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有关分析力学中加速度的解密
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摘要：利用经典力学的拉格朗日方法,分别讨论了静平衡的条件和连续介质动力学.利用哈密顿方法,介绍了相空间中独特的平衡点以及适用于统计力学的稳定系综分布.这些例子表明:在分析力学的框架内,加速度概念已经去魅,所谓的“平衡态”也具有不同于牛顿方法的实现方式.
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牛顿力学是近代科学的典范,也是学生最为熟悉的物理学理论.众所周知,加速度是牛顿力学的核心概念.例如,一个粒子(质点)的加速度直接决定动力学,利用其矢量定义a=v˙=r⋅⋅可求解运动方程,而静力学是对应加速度为零(或所受合力为零)的特殊情况.推广到n个粒子组成的系统,ai成为核心物理量(下标i代表粒子编号).此时静力学由粒子加速度(或所受合力)均为零给出,若限定粒子初速度均为零,则系统处于力学平衡态,其满足的条件可表述为r⋅⋅i=0, r˙i=0(1)
另一方面,牛顿力学只适用于宏观、低速的物质世界.随着物理学的发展,人们逐渐摆脱对牛顿力学的依赖,进而理解和发现物质运动的多样性.在此过程中,去除对牛顿力学的既有核心概念(比如加速度)的魅力是一个关键的环节.这种去魅(或称为祛魅,disenchanted)现象在科学发展史中屡见不鲜,它是人类知识进化的一个主导倾向.
即使局限于经典力学领域,在拉格朗日、哈密顿等人创建和发展的分析力学方法中,加速度概念应该也呈现去魅的特征.这正是本文具体阐述的内容.我们将强调指出:广义加速度不再是对动力学起关键作用的核心概念;与此相关,静力学的形式不同于上述牛顿力学的情况,所谓的“平衡态”也具有更丰富的实现方式.
1、拉格朗日力学
在经典力学的拉格朗日方法中,具有s个独立自由度的系统,其运动由广义坐标qα和广义速度q˙α描述(下标α代表自由度编号),则广义速度的一阶导数或广义坐标的二阶导数q⋅⋅α就是拉格朗日形式下的加速度,通常称为广义加速度.
根据分析力学的基本假设[1],只要同时给定系统的广义坐标和广义速度,则系统的力学状态及其随时间的改变就是完全确定的.这意味着利用动力学规律,加速度q⋅⋅α能够表示为广义坐标、广义速度和时间的函数形式,它不再是讨论系统运动问题所必需的核心概念.
1.1静力学和力学平衡条件
我们从达朗贝尔方程出发考虑问题.在牛顿方法中,静力学要求粒子加速度为零(r⋅⋅i=0),则达朗贝尔方程退化为虚功原理.对于理想约束的完整系统,易给出[2]Qα=0(2)
式中α=1,2,…,s.这说明:当源自主动力的广义力Qα均为零时,系统对应静力学情况.利用拉格朗日方程,式(2)可改写为
其中T为系统的动能,等式左边是所谓的广义惯性力[3].可见,广义主动力为零或广义惯性力为零决定了静力学极限,这与前述的“粒子所受合力均为零”是有区别的.
另一方面,从式(3)不能给出q⋅⋅α=0.一般而言,由于约束的存在,s小于3n,广义加速度不再具备牛顿力学中加速度的物理内涵,因此它是否为零并不能作为静力学的判据.
假设考虑的是无初速度的系统,满足式(2)则系统处于力学平衡态.事实上,静平衡要求系统动能恒为零,由于T是广义坐标、广义速度和时间的函数,消失的动能并不能给出q˙α=0,也给不出q⋅⋅α=0.显然,形如式(1)的平衡条件只适用于牛顿矢量力学,而不能外推到拉格朗日的框架中.此外,若主动力为保守力,式(2)可表述为
即力学平衡态处于系统势能取稳定值的位置.形式上,式(4)迥异于牛顿力学给出的式(1).
总之,不同于牛顿方法的情况,拉格朗日方程是以能量量纲的物理量(比如动能、势能、拉格朗日量等)为基本考察对象的,广义加速度并非描述系统运动的核心概念.这表明在拉格朗日力学中加速度已经去魅.
1.2波动中的“加速度”
拉格朗日力学不仅适用于分立的粒子系统,也适用于一般的连续介质系统.本节将以经典连续系统——机械波为例说明后一种情况.
理论力学教材[2]已讨论过弹性杆中的纵波,将广义坐标q=q(t)推广为场量φ=φ(x,t),将拉格朗日函数推广为拉格朗日密度,由拉格朗日方程给出
其中v为波速.在三维情况下,场量成为φ=φ(r,t),类似地可得到
这里,式(5)中的∂2∂x2替代为拉普拉斯算符2,上式是经典场论中熟知的波动方程.
显然,我们不能将φ⋅⋅定义为所谓的广义加速度.在这种情况下,是否仍然存在类似于加速度的物理量?如果存在,它对揭示连续介质的动力学有何帮助?为了回答这些问题,我们首先阐明2φ的物理意义.定性地讲,它反映场量与其邻近位置处的平均值之间的关系.若某位置处场量为φ,在包含该位置的一个无限小邻域内的场量平均值为φ¯¯,那么2φ就量度了上述两者的差值,即
上式中比例系数与无限小邻域的尺度有关,例如,记无限小邻域构成的立方体的边长为b,则上式可具体表述为b2242φ=φ¯¯−φ,推导可详见参考文献[4].
利用式(7),波动方程可表述为如下比例式:
这里,与波速v、线度b有关的常数已归结为比例系数.上式表明,当φ处于比其所在领域内的平均值φ¯¯小的位置时,∂2φ∂t2取正值;当φ处于比其平均值φ¯¯大的位置时,∂2φ∂t2取负值.因此,∂2φ∂t2的作用是使场量的取值趋于其所在邻域内的平均值.
这一物理图像非常类似粒子的机械振动,后者在一维情况下可表示为
显然,加速度x⋅⋅的作用是使粒子位置趋于其平衡位置x¯.比较式(8)和式(9)可知:在波动问题中,类比粒子加速度的物理量正是∂2φ∂t2,即场量在固定位置处、关于时间的二阶偏导数.
引入上述“加速度”对理解连续系统的动力学是有帮助的:处于φ=φ¯¯的位置时,“加速度”消失,但“速度”(即∂φ∂t)并不为零;一旦偏离该平衡位置,“加速度”开始出现,导致波动重复着同样的运动模式.
总之,在拉格朗日的场论表述中,通常定义的加速度并不存在,这体现了加速度的去魅.另一方面,借助与粒子动力学的类比,形式上能给出波动中的“加速度”.这体现了加速度的演化,说明至少在经典力学范畴内加速度概念仍有其价值.
2、哈密顿力学
在经典力学的哈密顿形式中,系统运动由广义坐标qα和广义动量pα描述,它们处于同等地位,统称为正则坐标.正则坐标构成2s维的相空间,在相空间中考察系统动力学是哈密顿力学的主要特色.
根据分析力学的基本假设[1],正则坐标完全确定系统的力学状态.这样,广义加速度和广义速度可表示为正则坐标和时间的函数形式,它们都不再是哈密顿力学所必需的核心概念,因而它们都应呈现去魅的特征.本节将以两种独特的“平衡态”为例讨论问题.
2.1相空间中的平衡点
哈密顿动力学由正则方程
给出.令正则坐标的一阶导数同时为零,即q˙=p˙=0(为简洁计已略去下标α).若记满足此条件的正则坐标为q0和p0,则式(10)可改写为
上式对应与时间无关的定常状态解,既然它不能给出一条随时间变化的轨迹,(q0,p0)只能对应相空间中的一个特殊点,且没有任何轨迹经过该点.从这个意义讲,满足式(11)的特殊点是相空间中的奇点,也被称为相空间中的平衡点.它的引入对阐明非线性动力学十分重要.例如,在该点处给系统以小的扰动,在一定条件下就可能演化为非线性系统[5].
基于牛顿的粒子动力学图像,正则坐标的一阶导数q˙通常与粒子速度有关,而p˙通常与粒子加速度有关.在这个意义上,式(11)似乎等价于牛顿方法给出的平衡条件式(1).但是,正是由于哈密顿力学中速度和加速度都已去魅,这种形式的相似不意味着两种状态的等价.事实上,式(11)定义的“平衡态”和第1节讨论的力学平衡态具有完全不同的物理内涵:力学平衡态给出的是所有粒子在位形空间中处于静止的状态;平衡点给出的是动力学系统在相空间中的奇点,它只反映了动力学系统未被扰动的特殊状态.
2.2稳定系综和热学平衡态
作为哈密顿力学的另一个应用,本节讨论经典统计力学的情况.对于力学系统,其动力学由相空间中代表点的轨迹描述;然而,统计力学不关注个别代表点的轨迹,它关注的是所有可能的代表点构成的“点云”的平均变化情况.这种“点云”就是所谓的系综,即遵循同样力学规律的系统及其“复制品”的集合.
我们考虑稳定系综的情况.此时,系综密度ρ=ρ(q,p,t)不显含时间,因此系综代表点在相空间中形成稳定“流动”(类比指定位置处流速确定的流体).利用“流体连续性”和刘维定理,可以证明系综密度满足[3]:
∑α(∂H∂pα∂ρ∂qα−∂H∂qα∂ρ∂pα)=0(12)
若采用泊松括号,上式记为
[H,ρ]=0(13)
由哈密顿力学可知,式(13)表明系综密度是与时间无关的运动积分.这样,系综密度对正则坐标的依赖关系可以通过其对哈密顿函数的依赖关系得以实现,这可以具体表述为[6]
ρ(q,p)=ρ[H(q,p)](14)
上式中[]代表泛函形式,它涵盖了稳定系综条件下密度函数的全部类型.例如,在微正则系综情况下,系综密度仅与能量有关,求解热力学只需有限个给定的能量超曲面.
稳定系综情况下,物理量的系综平均值将与时间无关,热学系统处于平衡态.此时,大量微观粒子仍保持无规则运动,因此热学平衡态当然不同于力学平衡态.从式(14)可知,热学平衡态由力学系统的哈密顿量决定,而不是由力学系统的具体正则坐标决定.从这个意义讲,研究宏观热学系统时,人们无需知道、也无从知道微观粒子的具体力学性质(特别是微观粒子的加速度情况).可见,牛顿力学的核心概念——加速度不对热学平衡态的描述有任何作用,它完全退出了统计力学的“舞台”.这是加速度去魅的又一例证.
附带指出,若进一步引入系统的热力学函数,热学平衡态将出现于热力学函数取稳定值的情况,热平衡条件将具有类似式(4)的形式.统计力学教材对此已有讨论[6],不再赘述.
3、结论
以分析力学内容为主的理论力学是物理学类专业本科生的必修课程.许多学生之所以感到课程抽象难懂,主要是因为他们未能摆脱牛顿力学的思维方式,特别是未能去除对加速度等概念的依赖.从这个意义讲,本文内容为理论力学教学提供了全新的视角.笔者的教学实践表明,强调加速度等概念的去魅及其导致的变化,有助于学生建立对力学的新认识、理解分析力学作为普适动力学理论的优越性.
另一方面,除力学平衡态外,本文介绍了相空间中的两种独特的“平衡态”.这些讨论从另一侧面说明了加速度概念的去魅.笔者的实践表明,它们既丰富了课程的教学内容、开阔了学生的眼界,又为后续课程提供了更为坚实的基础.
当然,在现今理论力学课时缩减的形势下,如何将本文内容有机地融入教学实践,尚值得进一步探究.此外,唯象相互作用(表观力)在现代物理学中的去魅过程也是一个值得深入讨论的课题,限于篇幅本文未予涉及.
参考文献：
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张小兵.分析力学中加速度的去魅[J].大学物理,2020,39(05):1-3+19.
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期刊名称：力学学报
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主管单位：中国科学院
主办单位：中国科学院力学研究所
出版地方：北京
专业分类：科学
国际刊号：0459-1879
国内刊号：11-2062/O3
邮发代号： 2-814
创刊时间：1957年
发行周期：双月刊
期刊开本：大16开
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