一、西南联大时期的华罗庚与解析数论的渊源

在中国抗日战争的危机时期,1938年4月,国立北京大学、国立清华大学和私立南开大学从长沙组成的国立长沙临时大学西迁至昆明,改称国立西南联合大学.这是国立北大、清华、私立南开三所大学在昆明联合办学的一所综合性大学.当时的西南联合大学集中了一大批中国知识分子的精英.数学系更是藏龙卧虎之地,系领导有清华大学数学系主任杨武之,北京大学数学系主任江泽涵,南开大学数学系主任姜立夫,西南联大数学系先后由江泽涵,杨武之负责[1,2].西南联合大学(以下简称为“联大”)数学系就是由抗战时期的北京大学数学系、清华大学数学系,以及南开大学数学系组建的高等数学教育机构,成为那个时期中国数学发展的一个重要象征.联大数学系主要学习和传播了欧美的数学知识和文化,也继承了欧美的文化传统,许多留学回国的教师开设了他们精通或擅长的数学课程.华罗庚就是西南联大数学系的一名年轻教授.他于1910年11月12日出生于中国江苏省南部的金坛县一个贫困家庭,初中毕业后曾考入上海中华职业学校就读,在两年的会计专业中读了一年半后辍学.华罗庚爱好数学,利用业余时间自学和钻研数学.他在早年就表现出有数学才能,其处女作《Sturm氏定理的研究》登于1929年12月出版的上海《科学》杂志上.他因1930年刊登在上海《科学》杂志上的第二篇论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》[3](以下简称“华文”)而引起了当时的清华大学数学系主任熊庆来教授的关注.“华文”对华罗庚的个人命运是决定性的,他于该文发表后的第二年,即1931年,就被熊庆来调到清华大学数学系任助理员,两年后提拔为助教,1935年,华罗庚提升为教员,由此使他能够更好地从事数学的研究与教学,真正地步入数学学科的殿堂,终生与数学结下了不解之缘.1936年,经人推荐,华罗庚到世界分析与解析数论中心之一的剑桥大学进一步深造[4].他在剑桥结识了与哈代同样研究解析数论的许多数学家们,如海尔布伦、梯奇马什等.他在剑桥访问期间发表了受到同行称赞的15篇论文.1938年,华罗庚从英国回国,在杨武之先生的支持下,华罗庚被越级聘请为数学系教授.这就是华罗庚早年的研究领域解析数论.在1937—1945年间,华罗庚任教于国立西南联大,并于1940年完成了被称为经典专著的《堆垒素数论》[5],这项工作达到了中国数论研究的第一个顶峰.之后,华罗庚研究的方向由解析数论拓展到矩阵几何、自守函数论、多元复变函数论及群论.

华罗庚在解析数论方面取得的成就尤其广为人知,国际间颇具盛名的“中国解析数论学派”即是华罗庚开创的,该学派对于质数分布问题与哥德巴赫(C.Goldbach,Christian1690—1764)猜想做出了许多重大的贡献.

二、华罗庚作为中国创始者的解析数论研究的国际发展影响进程与现状

二十世纪20—30年代是解析数论取得重大突破,整个面貌有巨大改变的年代.其中20年代,哈代、李特伍德与拉马努扬建立了圆法,维诺格拉朵夫又对圆法作了根本性的简化.30年代,维诺格拉朵夫建立了估计韦尔和的新方法,他的结果比韦尔原来的结果有了巨大的改进.解析数论在中国的研究始于二十世纪30年代,创始者是华罗庚教授.解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题,以及格点问题的研究,解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等.华罗庚对解析数论中的许多著名问题都做过重要贡献.例如:完整三角和的估计、华林问题、塔利问题、华林—哥德巴赫问题及高斯圆内格点问题等.他在解析数论方面的大部分工作都搜集在他的专著《堆垒素数论》、《指数和的估计及其在数论中的应用》[6]与《数论导引》[7]中.

华罗庚于1931年到清华大学工作后曾听过杨武之的《群论》课,并就此跟随杨武之学习数论,并用初等方法来研究堆垒素数论问题.他受到杨武之的启蒙与指导,学习与研究哈代(G.H.Hardy,1877—1947)和李特伍德(J.E.Littlewood)有关堆垒数论崭新的分析方法—圆法,并从1934年起开始发表以数论为主要内容的研究论文[8].“三角和的估计”是近代数论研究的中心问题之一,高斯是这个领域的创始人,关于二次多项式对应的完整三角和就称为“高斯和”.高斯本人解决了它的最佳估计问题,但是在经历了二百多年之后才由华罗庚在1938年解决了任意多项式,系数为整数的一般完整三角和的最佳估计,这就为推进华林问题的解决提供了有效的工具.所以说,最为广泛的希尔伯特—华林定理首先是在华罗庚的研究中形成的.国际上称华罗庚的关于完整三角和的成果为“华式定理”.例如:1971年出版的苏联维诺格拉朵夫的专著《数论中的三角和方法》与1981年英国沃恩的专著《哈代—李特伍德方法》都是以整章或相当篇幅记叙了这条定理及其应用.1957年,华罗庚应用怀依关于黎曼猜想的著名研究得到了非完整三角和的精密估计,从而将华林问题的优弧部分做到了最好的程度,改进了哈代—李特伍德1920年的结果,在国际上称这项研究工作为“怀依—华不等式”.1938年,华罗庚关于三角和的积分平均估计是处理低次华林问题的重要工具,在国际上被称为“华氏不等式”.1940年,华罗庚完成了系统总结和发展圆法与三角和估计法的《堆垒素数论》,这本书先后被译成俄、日、德、匈、英文出版,其主要结果长期居世界领先地位,被称为经典专著.这项工作标志着中国数论研究达到第一个高峰.华罗庚的另外两本著作《数论导引》(1957)和《数论在近似分析中的应用》(1978,与王元合作,其中的结果被称为“华—王方法”)成为数学教学和数学应用的优秀读本[3].

在1953—1957年间,华罗庚首先在中国科学院数学研究所领导了一个解析数论讨论班.在讨论班中认真地学习了解解析数论的基本思想与方法,例如:史尼尔曼密率论,仆朗与塞尔伯格筛法,哈代与李特伍德图法,依·维诺格拉朵夫、华罗庚与冯·德·科坡德关于三角和的估计方法,以及列尼克(Linnik)的分析方法等.除此之外,对数论其他分支的重要进展也给予了密切的注意[8].讨论班中也报告了参加者们的工作.华罗庚所领导讨论班的特点是治学严谨,要求严格.因而,讨论班在短短的几年内就出了很好的人才与成果.例如:闵嗣鹤、越民义、陈景润、许孔时、严士键、吴方、魏道政、潘承洞、尹文霖,王元等,他们都是讨论班的参加者.

1953年秋,数学所最先成立了数论与微分方程两个组,分别由华罗庚和吴新谋先生任组长.数论组成立后,华罗庚组织了两个讨论班.一个是《数论导引》讨论班,另一个为“哥德巴赫猜想”讨论班.讨论班每周各进行一次,一直坚持到了1956年.《数论导引》讨论班由他主讲.他用写一本书的办法来引导学生学习.他在西南联大及美国教授数论课时曾写过一个约有十多万字的讲稿.他就是在这个基础上撰写他的《数论导引》书的.他在每一章中都先写出一个初稿,约占整章篇幅的百分之六、七十,然后再在讨论班上讲一遍,指定一个人负责补充,并将整章完整地写出来,最后由越民义负责审核与修改补充后交华罗庚确认定稿.全书仅仅用了两年多时间就写完了,共六十多万字,于1957年由科学出版社正式出版.他这样做远比让学生去读一本现成的书好,学生们在学习中相当投入,有一种当家作主的感觉.这种写书方式也不同于“放羊”,因为如果完全让学生自己去写书的话,那么往往就会前后不连贯,风格各异了.通过《数论导引》讨论班,参加者对数论的全貌有了很好的了解,对一些基本的数论方法也能较好地掌握与使用.有一些非常重要的结果是在《数论导引》中被首次写进去的,如罗斯定理.

华罗庚领导的另一个讨论班为“哥德巴赫猜想”讨论班.他组织这个讨论班的着眼点并不是要有人在这个问题上做出成果来,而是由于哥德巴赫问题的研究几乎跟解析数论所有的重要方法都有联系,其中也包括了塞尔贝格方法与林尼克方法.以哥德巴赫猜想为主线来学习就可以学会解析数论的所有重要方法.华罗庚说:“你们弄懂了解析数论,再学一点代数数论,就可以将解析数论的结果推广到代数数域上去”.讨论班由学生轮流报告指定的论文,华罗庚则不停地提问题,务必使每一点都完全弄清楚,有时往往使主讲人讲不下去,长时间站在讲台上思考,这叫做“敲黑板”.有些报告的材料就是在讨论班上得到了简化,所以虽然讨论班进行得很慢,并没有按计划完成,但是参加者却得益很大.

华罗庚的讨论班模式,我们依然可以借鉴并用于现在的教学和学习中.老师可以给每个参加讨论班的学生指定一篇论文抑或一本书,学生下来自学,然后作报告,由老师指导.通过这种方式的学习,可以大大地提高学生的自学与独立工作能力,也为毕业后继续提高与从事研究工作创造了条件.

跟随着华罗庚解析数论研究的脚步,近现代的解析数论得到了不断地发展,并取得了如下几项影响世界的进展:(一)2013年4月,张益唐证明了:存在无穷多对相邻素数,其差等于某个小于七千万的偶数;(二)2013年5月,H.A.Helf—goot宣布证明了关于奇数的哥德巴赫猜想,每个不小于7的奇数都是三个素数之和;(三)2006年,BenGreen和TerenceTao(陶哲轩)证明了:对任意给定的正整数K,一定存在一个具有K项的等差数列,它的每一项都是素数[9].

三、华罗庚培养的中国杰出数学人才对解析数论的重要贡献和国际影响

华罗庚一生在数学理论研究、领导发展中国的数学事业、培养和挖掘数学人才、关注中学数学教育和应用数学理论解决实际问题等诸多方面都取得了辉煌的成就,并做出了杰出的贡献.1949年新中国成立,华罗庚毅然回国,担任了清华大学数学系主任,受当时中国科学院院长郭沫若的邀请,开始筹建数学研究所.1952年7月,数学研究所成立,他担任所长,潜心培养中国数学人才,如有出众的优秀青年陈景润、王元、万哲先、陆启铿、龚升等在他的精心培养下都成为了教授,是中国数学界的骨干,正是他们的杰出工作使得我国的数学研究在若干方面达到了国际领先水平.在华罗庚的解析数论研究方面,以陈景润、王元为代表.在华罗庚拓展的矩阵几何、自守函数论、多元复变函数论及群论等方面,以陆启铿为代表.

1.陈景润对哥德巴赫猜想的重要贡献和国际影响

陈景润,1933年5月22日出生于福建省福州市,1949年至1953年就读于厦门大学数学系,大学毕业后由政府分配至北京市第四中学任教,于1955年2月调回厦门大学工作.那时他对数论有着浓厚的兴趣,通过对华罗庚专著《堆垒素数论》的学习,就发现用《堆垒素数论》第五章的方法可以改进第四章的某些结果,并写了一篇《关于塔内(G.Tarry)问题》的论文寄给了华罗庚,经中国科学院数学研究所的一些研究人员审查,陈景润的结果被确认为是对的.1956年8月,由华罗庚推荐,陈景润应邀参加了中国数学会在北京召开的“全国数学论文报告会”,并报告了他的关于塔内问题的结果,受到与会者的一致好评[10].在华罗庚的赏识与推荐下,陈景润于1957年10月被调到中国科学院数学研究所任实习研究员,他在这里的研究进展快,取得了很多重要成果.他从研究三角和的估计及其应用入手,对圆内整点问题[11],除数问题,球内整点问题及华林(E.Waring)问题[12]等著名问题的结果,都做出了重要的改进.从二十世纪60年代中开始,他又转入了筛法及其应用研究,达到了他研究工作的顶峰.他对于哥德巴赫猜想以及殆素数分布的研究成果有广泛的影响,受到国内外数学家的高度评价[13].这项工作达到了中国数论研究的第二个顶峰.

《陈景润文集》一书收集了陈景润院士的一生各个时期的主要论文共25篇,按发表时间的先后顺序排列,共约50多万字,这是陈景润一生心血的作品,具有厚重的学术及文化价值.他的许多工作及思想对当代解析数论产生了重要而深远的影响,他作为当代国际解析数论发展史上的杰出人物已被永久载入史册.

2.王元对数论的重要贡献和国际影响

王元,1952年毕业于浙江大学数学系,经陈建功、苏步青推荐到中国科学院数学研究所工作,师从华罗庚院士研究数论.由于王元在大学得到了较好的基础训练,而自己的独立学习和研究的能力较强,故在华罗庚指导下很快做出了成绩,从此走上了一条数学家通常走的路.王元曾任数学所所长与中国数学会理事长,他在解析数论、代数数论以及数论方法应用等方面均做出了卓越的贡献.王元院士主要从事解析数论工作,他从1956年起,在哥德巴赫猜想研究中取得若干卓越成果,相继证明了(3、4),(3、3).后来,他又证明了(2、3),即“每一个充分大的偶数都是一个不超过2个素数之积与一个不超过3个素数之积的和”的结论,这是中国学者首次在此研究领域中居于世界领先的地位,其成果被国内外有关文献频繁引用.由于王元在数学上的突出贡献,他于1977年被提升为中国科学院数学研究所研究员,1980年当选为中国科学院学部委员.1982年,王元和陈景润、潘承洞的研究成果同获国家自然科学一等奖.自1958年开始,他和华罗庚合作研究了数论在近似分析中的应用(特别是高维空间数值积分的近似计算方法),他们于1973年证明了用分圆域的独立单位系构造高维单位立方体的一致分布点贯的一般定理,受到国际学术界的推崇,被国际数学界誉为“华—王方法”[14].王元的许多工作在国际上产生了广泛影响.

王元与华罗庚一起开拓高维数值积分的研究方向并创造的“华—王方法”为中国夺得了关于哥德巴赫猜想研究领域的第一个重要成果.他们的学术专著《数论在近似分析中的应用》英译本由斯普林格出版社出版后,英、德、日、奥等十多个国家的14种数学杂志予以好评,认为“就抽象数学的应用而言,该书本身就是一个光彩夺目的例证”.这项工作达到了中国数论研究的第三个顶峰.王元在另一个艰深的领域代数数域上的丢番图分析以及数论方法在统计中的应用方面也做出了杰出的成果.王元的工作曾获国家自然科学一等奖、陈嘉庚物质科学奖、何梁何利奖、1999年华罗庚数学奖.他在国际数学界和港台数学界享有声誉,被聘为世界科学出版社顾问、联邦德国《分析》杂志编委及斯普林格《图论与组合》杂志编委.1984年,王元荣获“国家级有突出贡献的优秀中青年专家”称号.

王元与杨德庄记述华罗庚数学研究的专著《华罗庚的数学生涯》,共分为一、二两篇.在书中写到:华罗庚的成就遍及数学很多重要领域,他的特殊的学术思想和方法论已作为中华民族文化的一部分而载入史册.第一篇介绍了华罗庚在纯粹数学方面的成就,并附有国外数学家的评语.第二篇主要地介绍了华罗庚在应用数学和数学普及方面的贡献.《王元文集》是王元院士将自己长期科学研究的重要文献收集成册,系统地论述数学科学和展示数学成就的专著.《王元论哥德巴赫猜想》是王元院士多年来在国内外各种刊物上所发表的部分论述性文章(不包括专门的学术论著)的汇集.这是一本让大众深刻理解“哥德巴赫猜想”的完整著作.王元在该书中强调哥德巴赫猜想这一主题,并突出了王元获得重大科技成果奖的“筛法与哥德巴赫猜想问题(2,3)”.在数学史上,著名的猜想占有重要的地位,这不仅是因为它们的难度使它们具有诱人的魅力,而且更是由于在解决大难度问题的过程中所产生的新概念与新方法而对于整个数学进步产生了推动.

3.陆启铿对典型域的调和函数论的影响

华罗庚研究的方向除了解析数论以外,还有矩阵几何、自守函数论、多元复变函数论及群论等.陆启铿就是华罗庚回国后的第一批亲传弟子,是新中国成立后培养出来的国际一流数学家.在典型域调和分析这项工作的基础上,华罗庚与陆启铿进一步研究了典型域的调和函数论,他们给出了典型域的泊松核,解决了调和函数的狄利克雷问题.在华罗庚的悉心培养下,陆启铿凭借自身的执着和过人天赋,在多复变函数和数学物理领域中做出了大量的奠基性和创新性工作,取得了国际瞩目成就.他和华罗庚合作出版的《典型域的调和函数论》建立了典型域上调和函数的系统理论.

四、中国数论强国展望

数论是在中国近代数学发展得最早的数学分支之一,具有优良的传统.中国数学家在数论分支上取得的成就是举世瞩目的.那么,数论到底是否成为了中国数学强国的标志呢?下面在历史地回顾数论重大成就的基础上,从数论研究人才规模与重要项目成果等方面提出展望.

历史地来看,中国从二十世纪30年代开始,在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面产生过重要的贡献,尤其是著名的华罗庚教授在三角和估计和堆垒素数论方面的研究,中科院数学所陈景润研究员对《哥德巴赫猜想》的研究成果(1+2)都是国内外所公认的.中国数学家在数论领域还取得了一系列重大成果:1990年华罗庚和王元的专著《数论在近似分析中的应用》[15]获陈嘉庚奖和重大科技成果奖;1992年陈景润的《解析数论中哥德巴赫猜想》、1998年王元的《解析数论》获华罗庚奖;陈景润的《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数乘积之和》、王元的《筛法与哥德巴赫猜想问题(2+3)》获得重大科技成果奖[16].

1978年1月,作家徐迟发表的报告文学《哥德巴赫猜想》[17]在中国社会各界和科学界都产生了极大反响,它让中国科学院当时鲜为人知的“科学怪人”陈景润一下子成为了全国家喻户晓的明星,更激发了一代青年学者对中国数论研究的兴趣.在《哥德巴赫猜想》一文中所描述的是陈景润(1933-1996)几乎是投入了自己全部生命去致力于研究解析数论中一道世界级难题的经过.在文学的意义上,《哥德巴赫猜想》一文“无论在题材、主题的表现上,抑或反应的对象上,以及艺术的创新上,无疑都是一次新的探索,新的开拓.”在科学传播的意义上,《哥德巴赫猜想》堪称建国以来在科普、科学传播方面的影响力超过其他任何一部作品的杰作[18].可以说,正是《哥德巴赫猜想》激发了一代中国青年,使得中国数论研究后继有人,并且还在一直延续着数论相关领域的研究,也做出了划时代的贡献.的确,从中国数论研究的人才规模和重要的项目成果来看,在国内与数论相关的研究项目有:中科院数学所的《数论与代数几何》被列为国家级的研究项目;贾朝华的《解析数论》被列为国家杰出青年基金项目等.在国内与数论相关的研究人员的规模也在不断扩大,如清华大学数学教授冯克勤,在中国科技大学学习期间师从于华罗庚专攻数论方向,于1990年获得陈省身数学奖,是国家自然科学基金数学重点项目《代数数论》七五、八五、九五课题组长;清华大学教授张贤科,曾在中国科学技术大学任教,研究领域为多类代数数域和代数函数域的分类、类群、有理点群等，著有《代数数论导引》，国际权威数学家唐·查吉尔（DonB.Zagier）和劳·华盛顿（L.C.Washington）在1988年的评议书中评论“属当今中国的领导数论学家”；南京大学数学系教授秦厚荣，主要研究方向为代数数论与代数K理论，曾创造性地提出了确定代数整数环上Milnor群的方法，首次得到了关于Tate核的完整结果，证明了多个长期未获得解决的猜想；山东大学研究生院院长刘建亚，研究解析数论与自守形式，其课题组自1995年开始，在国家杰出青年基金、国家自然科学基金重点项目、教育部科技研究重大项目的支持下，系统地研究了自守形式理论，尤其是自守L—函数的分析理论，开辟了一个新途径，成功地将高维自守形式应用到素数分布，并且在多个问题中取得了实质性突破；南京大学数学系孙智伟教授，由他独立完成“关于覆盖系等数论问题的研究”综合运用数论、代数、分析、组合等领域的工具提出了有创造性的研究方法，首次揭示出覆盖系与单位分数间的内在联系，获1996年度江苏省科技进步二等奖；中科院系统科学与数学研究院的田野研究员获2013年拉马努金奖，该奖项主要表彰田野对数论的杰出贡献．他带领团队在数论、算术代数几何领域取得了一系列具有原创性的重要研究成果，比如：有千余年历史的同余数问题上取得重大突破，对相应的椭圆曲线证明了BSD猜想，被称为“数论最古老未解决问题重要的里程碑”．

由此可见，在中国已经形成了数论强国的气候，从事纯粹数论顶天立地的研究仍是一批中国学者不断的梦想和人生的追求．数论当属中国数学强国的传统分支标志．

五、总结

华罗庚最初对于解析数论方面的研究兴趣是数论中的华林（G.Waring）问题，受到杨武之的指点，在二十世纪30年代开始解析数论的研究．他在1938年至1945年间在担任西南联合大学教授时的研究达到了第一个顶峰．他在新中国成立后回国，创建了中国科学院数学研究所，潜心为中国培养出了世界知名的数学人才，如有陈景润、王元等，他们取得的数论成果使得中国数论的研究依次达到了第二个、三个顶峰，对数论做出了重要贡献，极大地促进了数论的国际发展和影响，由此还涌现出了中国的一些杰出学者如潘承洞、张益唐等对数论做出了有重要国际影响的成果．同时，也对我们研究现代数学，瞄准国际数论的发展产生了深远的影响．华罗庚的功绩不仅在于他作为数学家的学术成就，而且更重要的还在于他对发展中国乃至于世界数学发展的引领．

数论是中国数学的传统分支，已经取得了举世瞩目的成就，在中国已经形成了数论强国的气候，当属中国数学强国的重要标志．一个新的数学发展时期已经到来，我们新时代的中国年轻一代应当肩负起数学强国的新使命，任重道远．数论强国在招手，相比国际上对数论的研究与贡献，要认识到我国的数论研究还有一定的差距，我们还有很长的路要走，期待我国年轻一代的数学家能够取得更高更好的数论成果，延续数论学科分支的发展．

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基金:国家自然科学基金(11162020);国家社科基金重大招标项目:西南联大文献资料收集整理与数据库建设(182DA202)