哲学思想在初等数论中的表现探究

2020-06-28 647 上传者：管理员

摘要：初等数论主要研究的是整数的性质，其中蕴含着丰富的哲学思想，本文结合具体例子，对初等数论中蕴含的普遍联系、否定与肯定、特殊化与一般化、量变与质变这四个哲学思想进行了探讨。

关键词：
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数论
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初等数论是小学教育专业的一门专业必修课，这门课程与中小学的联系比较紧密，学生开始学习第一章(整数的可除性)时，都觉得简单易懂，但从第二章(不定方程)开始，大部分学生就感觉上课基本能听懂，但一做练习就错，其实出现这种现象的原因就是学生没有真正理解初等数论中的数学思想方法。所以，研究初等数论的教学方法是数论教师必须要研究的一项重要课题。

哲学是世界观和方法论的统一，任何一门学科的发展都离不开世界观和方法论的指导，数学也不例外。初等数论中蕴含着丰富的哲学思想，如:普遍联系、否定与肯定、特殊化与一般化、量变与质变等哲学思想。有了这些辩证的哲学思想来指导学生学习初等数论，就能使学生更清晰、透彻地理解数论的知识，从而达到灵活运用。

一、普遍联系的哲学思想

辩证法认为，世界上任何事物和任何现象都是相互联系的，没有任何事物和现象不受周围因素的影响而单独存在，世界可以看做是相互贯通、相互作用的整体，整体中的各个部分相互联系，相互影响，也相互制约。

普遍联系的观点认为，要用整体的观点认识事物，就要处理好整体和部分的关系，整体依赖于部分，反之，部分离开整体就没有了价值，因此只有通过整体才能认识部分。

例如:(欧拉定理)设m是大于1的整数，(a,m)=1，则aφ(m)≡1(modm)。

证:设r1,r2，…，rφ(m)是模m的简化剩余系，则ar1,ar2，…，arφ(m)也是模m的简化剩余系，故(ar1)(ar2)…(arφ(m))≡r1r2…rφ(m)(modm)，即aφ(m)(r1r2…rφ(m))≡r1r2…rφ(m)(modm)，但(r1,m)=(r2,m)=…=(rφ(m),m)=1，因此(r1r2…rφ(m),m)=1，即得aφ(m)≡1(modm)。

在以上欧拉定理的证明中，关键是要构造模m的简化剩余系r1,r2，…，rφ(m)，然后利用简化剩余系的性质就能证出结论。通过这个定理的证明可以让学生清楚地认识到简化剩余系的价值。很多学生没有从整体中来认识部分，而是把每个部分孤立起来学习，这样就难以体会到部分的价值。因此，学习数论过程中一定要用普遍联系的观点来理解知识。

二、否定与肯定的哲学思想

辩证法认为否定与肯定是对立统一的，任何事物肯定自己就是否定自己是其它事物，反之，否定某个事物，就是对与它对立的某个事物的肯定。在初等数论中，蕴含了丰富的否定与肯定的思想，在定理的证明过程中，处处渗透着否定与肯定的思想。

例如:(带余数除法)若a,b是两个整数，其中b>0，则存在着两个整数q及r，使得a=bq+r,0!r

在证明q及r是惟一确定时，采用的是反证法，首先否定结论，设q1,r1也是满足a=bq+r,0!r

三、特殊化与一般化的哲学思想

特殊化与一般化是两种相互统一，又相互对立的思想方法。研究问题时常常由特殊推广到一般，又通过一般来探索特殊。在学习初等数论时，经常会遇到一些难以理解的概念、定理等，可以举一些简单、易懂的特殊例子去解释它，帮助学生理解这些概念和定理，这就是特殊化;但特殊的例子可能会限制研究一般问题的本质属性，所以有时直接求解一般性问题，反而会很容易，这就是把特殊问题一般化。

例如:欧拉函数φ(a)是定义域为正整数集的函数，φ(a)的值是指在0,1,2，…，a-1这a个数中与a互质的数的数量为多少。在学习以上欧拉函数的定义时，先给出欧拉函数的定义，然后再举几个具体的数字来解释欧拉函数的定义，如:φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，φ(5)=4等，通过这些具体例子的计算，不但可以让学生清楚什么是欧拉函数，而且还能从这些具体例子中发现欧拉函数具有以下性质:(1)φ(n)=1n=1,n=2;(2)φ(p)=p-1p是质数;(3)φ(pn)=pn-pn-1p是质数。这就是把一般问题特殊化的例子。

四、量变与质变的哲学思想

辩证法认为，量变和质变是事物发展必须经过的两个阶段。没有哪种事物的发展不经过量变，也不可能不经过质变，是量变和质变相统一的。量变是事物发展的初始阶段，经过量变后会进入事物发展的下一个阶段即质变。质变的发生将会引起新的量变。因此，质变是量变发生的结果的巩固，也为新的量变发生开辟了道路。初等数论中蕴含着丰富的量变与质变的哲学思想。

例如:两个整数的最大公因数是用一次辗转相除法就可以直接求解出来的，而两个以上整数的最大公因数就不仅仅是用一次辗转相除法就能够求解出来的，而是要运用以下结论:不妨设a1,a2，…，an是任意n个正整数，令(a1,a2)=d2,(d2,a3)=d3，…，(dn-1,an)=dn，则(a1,a2，…，an)=dn。从这个结果可以看出n个整数的最大公因数要经过n-1次辗转相除法才能求出来，这就体现了量变到质变的哲学思想。

五、结语

总之，在初等数论中处处都蕴含着丰富的哲学思想，作为教师应该积极探索，充分挖掘数论中的哲学思想，引导学生用哲学思想来指导学习初等数论，这样才能让学生真正理解初等数论的知识，从而达到融会贯通，灵活运用;由此达到人才培养目标。

参考文献：

[1]闵嗣鹤,严士健.初等数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2009

[2]单墫.初等数论[M].南京:南京大学出版社,2004

王玉华.初等数论中蕴含的哲学思想[J].产业与科技论坛,2020,19(05):120-121.