整数是数学研究的一个方向。组合数学中就有关于正整数在不同分部量下分拆数的研究[1,2]。对于一个给定的不定方程(或方程组),它是否有解,如果有解,解是不是唯一的,能不能求出它的所有解,这是数论的一个研究方向。有的方程或方程组没有整数解或者没有正整数解[3,4,5,6],有的方程或方程组只有有限个整数解[4,5],有的方程或方程组有无数多个整数解[7,8],还有些方程虽然未找到解的具体形式,但却找到了方程是否有解的条件。文献[7,8,9]给出一类方程有整数解的充分条件;文献[10,11]给出所讨论方程存在无数个解的充要条件;文献[12,13]给出所研究方程的解数上界。另外,有一些方程,大家只关心其特殊解(如文献[14]中方程的素数解等)。除此之外,还可以从其它角度研究不定方程。在已知方程解的基础上,文献[15]就从代数的角度研究了两个二次方程的整数解集。

设a,b,c,d都是正整数,a,b,c是d的因数、互素且不含平方因子。对于方程

ax2+by2+cz2=m+dxyz         (1)

称其满足不等式组

1≤x≤dyz2a,1≤y≤dxz2b,1≤z≤dxy2c         (2)

的整数解为方程(1)的基础解。当m=0时,文献[16]利用二元二次型和同余理论给出了方程

ax2+by2+cz2=dxyz

存在基础解时正整数a,b,c,d的所有可能取值以及对应的基础解,并且指出,方程的其它所有非平凡解(如果方程的解(x,y,z)满足不等式xyz≠0,则称解(x,y,z)是方程的非平凡解)可以由这些基础解求出。当m=1时,利用二元二次型和同余理论,文献[17]解出了方程

ax2+by2+cz2=1+dxyz

存在基础解时正整数a,b,c,d的所有可能取值以及对应的基础解,同时也说明该方程的所有非平凡解可以由这些基础解求出。

利用二元二次型和初等数学的知识,如果不定方程(1)有基础解,本文讨论得到正整数a,b,c,d和非负整数m的所有可能取值以及对应的基础解(x,y,z),进一步得到方程的多个整数解。

在方程(1)中,由于(a,x),(b,y),(c,z)地位对称,所以当三者的顺序互相交换时,得到的依然是同类型的方程。因而对这种由(a,x),(b,y),(c,z)交换顺序引起的新方程及对应的解,看做是相同的,尽可能避免重复讨论。

1、主要结论及证明

定理1设正整数a,b,c互素,不含有平方因子且都是正整数d的因数,m是非负整数。如果(x,y,z)是方程

ax2+by2+cz2=m+dxyz

的基础解,则

4≤db⋅dc⋅x2≤9         (3)

且右边等号当且仅当m=0时成立。

证明设(x,y,z)是方程(1)的基础解。令X=a√x,Y=b√y,Z=c√z,D=dabc√,则方程(1)变形为

X2+Y2+Z2=m+DXYZ         (4)

在上面的方程中,X,Y,Z地位对称,不妨设1≤X≤min{Y,Z},此时就有2Z≤DXY。

当Y≤Z时,由方程(4)可得

(DXY−2Z)2=(DXY)2−4X2−4Y2+4m

于是

DXY−2Y≥DXY−2Z=(DXY)2−4X2−4Y2+4m−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

两端平方,整理得

DXY2≤X2+2Y2−m≤3Y2,m=0时右边等号成立。

因此,4≤db⋅dc⋅x2≤9,当m=0时右边等号成立。

当Z<Y时,同样可得(3)式。证毕。

定理2设正整数a,b,c都不含有平方因子且都是正整数d的因数,(a,b,c)=1,m是非负整数,如果不定方程(1)

ax2+by2+cz2=m+dxyz

有基础解,则方程(1)中a,b,c,d,m的可能取值及对应的基础解都出现在表1中。

表1方程(1)存在基础解的可能情形及对应基础解

证明把方程(1)看成变量y,z的二元二次型

F(y,z)=by2+cz2−(dx)yz(=m−ax2)

这个二元二次函数的判别式Δ(F)=(dx)2-4bc。由于b,c地位对称,可以设b≤c。二元二次型有相关结论[18]:当Δ(F)≤0时,F(y,z)≥0;当Δ(F)>0时,F(y,z)可正可负。在系数a,b,c都不含有平方因子的条件下,结合定理1的结论,当(x,y,z)是方程(1)的基础解时,则x以及系数b,c,d是以下10类可能之一:

x=1,(db,dc)={(5,1),(6,1),(7,1),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3)};

x=2,(db,dc)=(1,1)(这时有m>3)或者(db,dc)=(2,1);

x=3,(db,dc)=(1,1)。

接下来,对这些可能逐一进行分析。

(Ⅰ)x=1,(db,dc)=(5,1)即d=c=5b。因为(a,b,c)=1且a|d,所以a=1,5且b(y2-5yz+5z2)=m-a。进而,b|(m-a)且y=5bz±5b2z2+4bm−4ab√2b。此时,条件(2)成为不等式组

于是有0≤m≤a-1。当a=1,m=0时,解得(a,b,c,d)=(1,1,5,5),(x,y,z)=(1,2,1),这是情形5。当a=5,m=0时,解得(a,b,c,d)=(5,1,5,5),(x,y,z)=(1,5,2),这是情形11。当a=5,m=1时,如果z=1,b=1,2,3,不等式组无解。如果z=1,b=4,则b有平方因子,不做讨论。当z=2,b=1时,有(a,b,c,d)=(5,1,5,5),(x,y,z)=(1,4,2),这是情形17。当a=5,m=2时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=1,b=3,有(a,b,c,d)=(5,3,15,15),(x,y,z)=(1,2,1),这是情形21。当a=5,m=3时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=1,b=2,有(a,b,c,d)=(5,2,10,10),(x,y,z)=(1,2,1),这是情形24。当a=5,m=4时,(a,b,c,d)=(5,1,5,5),(x,y,z)=(1,2,1),这是情形26的特例。

(Ⅱ)x=1,(db,dc)=(6,1)即d=c=6b。因为(a,b,c)=1且a|d,所以a=1,2,3,6且b(y2-6yz+6z2)=m-a。进而,b|(m-a)且y=3bz±3b2z2+bm−ab√b。此时,条件(2)成为不等式组

于是有0≤m≤a-2。当a=2,m=0时,解得(a,b,c,d)=(2,1,6,6),(x,y,z)=(1,2,1),这是情形9。当a=3,m=0时,解得(a,b,c,d)=(3,1,6,6),(x,y,z)=(1,3,1),这是情形10。当a=3,m=1时,(a,b,c,d)=(3,1,6,6),(x,y,z)=(1,2,1),这是情形16。当a=6,m=0时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=1,b=2,3,6,则c有平方因子,不做讨论。当a=6,m=1,2时,不等式组无解。当a=6,m=3时,有(a,b,c,d)=(6,1,6,6),(x,y,z)=(1,3,1),这是情形25。当a=6,m=4时,(a,b,c,d)=(6,1,6,6),(x,y,z)=(1,2,1),这是情形26的特例。

(Ⅲ)x=1,(db,dc)=(7,1)即d=c=7b。因为(a,b,c)=1且a|d,所以a=1,7且b(y2-7yz+7z2)=m-a。进而,b|(m-a)且y=7bz±21b2z2+4bm−4ab√2b。此时,条件(2)成为不等式组

于是有0≤m≤a-3,所以a=7。当m=0时,不等式组无解。当m=1时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=1,b=2,解得(a,b,c,d)=(7,2,14,14),(x,y,z)=(1,2,1),这是情形19。当m=2时,解得(a,b,c,d)=(7,1,7,7),(x,y,z)=(1,3,1),这是情形23。当m=3时,21b2z2+4bm-4ab不是完全平方,不等式组无解。当m=4时,(a,b,c,d)=(7,1,7,7),(x,y,z)=(1,2,1),这是情形26的特例。

(Ⅳ)x=1,(db,dc)=(2,2)即d=2c=2b。因为(a,b,c)=1且a|d,所以a=1,2且b(y2-2yz+z2)=m-a。进而,b|(m-a)且y=bz±b(m−a)√b。此时,条件(2)成为不等式组

{bz2≥a,m=a

于是当a=m=1时,解得(a,b,c,d)=(1,b,b,2b),(x,y,z)=(1,z,z),这时,bz2≥1。这是情形13。当a=m=2时,解得(a,b,c,d)=(2,b,b,2b),(x,y,z)=(1,z,z),这时,bz2≥2,且(2,b)=1。这是情形20。

(Ⅴ)x=1,(db,dc)=(3,2)即d=2c=3b,令b=2t,则c=3t,d=6t。因为(a,b,c)=1且a|d,所以a=1,2,3,6且t(2y2-6yz+3z2)=m-a。进而,t|(m-a)且y=3tz±3t2z2+2tm−2at√2t。此时,条件(2)成为不等式组

于是有0≤m≤a-1。当a=1,m=0时,解得(a,b,c,d)=(1,2,3,6),(x,y,z)=(1,1,1),这是情形6。当a=2,m=0时,如果z=1,t=1,不等式组无解。因为a,b,c不含平方因子,所以z=1,t=2不做讨论。当a=2,m=1时,解得(a,b,c,d)=(2,2,3,6),(x,y,z)=(1,1,1),这是情形15。当a=3,m=0时,如果z=1,t=1,不等式组无解。因为a,b,c无平方因子,所以z=1,t=3不做讨论。当a=3,m=1时,如果z=1,t=1,不等式组无解。因为a,b,c无平方因子,所以z=1,t=2不做讨论。当a=3,m=2时,(a,b,c,d)=(3,2,3,6),(x,y,z)=(1,1,1),这是情形20的特例。当a=6,m=0时,如果z=1,t=1,不等式组无解。如果z=2,t=1,有(a,b,c,d)=(6,2,3,6),(x,y,z)=(1,3,2),这是情形12。当a=6,m=1时,如果z=1,t=1,不等式组无解。如果z=1,t=5,有(a,b,c,d)=(6,10,15,30),(x,y,z)=(1,1,1),这是情形18。如果z=2,t=1,3t2z2+2tm-2at不是完全平方,不等式组无解。当a=6,m=2时,如果z=1,t=1,不等式组无解。如果z=2,t=1,有(a,b,c,d)=(6,2,3,6),(x,y,z)=(1,2,2),这是情形22。当a=6,m=3,4,5时,不等式组都没有解。

(Ⅵ)x=1,(db,dc)=(4,2)即d=2c=4b。因为(a,b,c)=1且a|d,所以a=1,2,4且b(y2-4yz+2z2)=m-a。进而,b|(m-a)且y=2bz±2b2z2+bm−ab√b。此时,条件(2)成为不等式组

于是有0≤m≤a-1。当a=1,m=0时,解得(a,b,c,d)=(1,1,2,4),(x,y,z)=(1,1,1),这是情形4。当a=2,m=0时,解得(a,b,c,d)=(2,1,2,4),(x,y,z)=(1,2,1),这是情形8。当a=2,m=1时,解得(a,b,c,d)=(2,1,2,4),(x,y,z)=(1,1,1),这是情形13的特例。

(Ⅶ)x=1,(db,dc)=(3,3)即d=3c=3b。由定理1可知m=0。因为(a,b,c)=1且a|d,所以a=1,3且b(y2-3yz+z2)=-a。进而,b|a且y=3bz±5b2z2−4ab√2b。此时,条件(2)成为不等式组

当a=1时,则z=1,b=1,解得(a,b,c,d)=(1,1,1,3),(x,y,z)=(1,1,1),这是情形2。当a=3时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=2,b=1,5b2z2-4ab不是完全平方。因为(a,b,c)=1,所以c=b=3不做讨论。

(Ⅷ)x=2,(db,dc)=(1,1)即d=c=b,m>3。因为(a,b,c)=1且a|d,所以a=1且b(y2-2yz+z2)=m-4。进而,b|(m-4)且y=bz±b(m−4)√b。此时,条件(2)成为不等式组

{bz2≥4,m=4

所以(a,b,c,d)=(1,b,b,b),(x,y,z)=(2,z,z),这里bz2≥4。这是情形26。

(Ⅸ)x=2,(db,dc)=(2,1)即d=c=2b。因为(a,b,c)=1且a|d,所以a=1,2且b(y2-4yz+2z2)=m-4a。进而,b|(m-4a)且y=2bz±2b2z2+bm−4ab√b。此时,条件(2)成为不等式组

于是有0≤m≤4a-1。当a=1,m=0时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=2,b=1,解得(a,b,c,d)=(1,1,2,2),(x,y,z)=(2,2,2),这是情形3。当a=1,m=1时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=1,b=3,解得(a,b,c,d)=(1,3,6,6),(x,y,z)=(2,1,1),这是情形16。当a=1,m=2时,如果z=1,b=1,解得(a,b,c,d)=(1,1,2,2),(x,y,z)=(2,2,1),这是情形20的特例。因为a,b,c没有平方因子,所以z=1,b=2不做讨论。当a=1,m=3时,不等式组无解。当a=2,m=0时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=2,b=1,解得(a,b,c,d)=(2,1,2,2),(x,y,z)=(2,4,2),这是情形7。当a=2,m=1时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=2,b=1,解得(a,b,c,d)=(2,1,2,2),(x,y,z)=(2,3,2),这是情形14。如果z=1,b=7,解得(a,b,c,d)=(2,7,14,14),(x,y,z)=(2,1,1),这是情形19。当a=2,m=2时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=2,b=1,2b2z2+bm-4ab不是完全平方,不等式组无解。如果z=1,b=3,解得(a,b,c,d)=(2,3,6,6),(x,y,z)=(2,2,1),这是情形22。当a=2,m=3时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=2,b=1,2b2z2+bm-4ab不是完全平方,不等式组无解。如果z=1,b=5,解得(a,b,c,d)=(2,5,10,10),(x,y,z)=(2,1,1),这是情形24。当a=2,m=4时,如果z=1,b=1,不等式组无解。如果z=2,b=1,解得(a,b,c,d)=(2,1,2,2),(x,y,z)=(2,2,2),这是情形26的特例。当a=2,m=5,6,7时,不等式组无解。

(Ⅹ)x=3,(db,dc)=(1,1)即d=c=b。由定理1可知m=0。因为(a,b,c)=1且a|d,所以a=1且b(y2-3yz+z2)=-9。进而,b|9且y=3bz±5b2z2−36b√2b。此时,条件(2)成为不等式组

当b=1时,如果z=1,2,不等式组无解。如果z=3,解得(a,b,c,d)=(1,1,1,1),(x,y,z)=(3,3,3),这是情形1。如果z=4,5b2z2-36b不是完全平方,不等式组无解。当b=3时,如果z=1,不等式组无解。如果z=2,2b2z2+bm-4ab不是完全平方,不等式组无解。因为a,b,c没有平方因子,所以b=9不做讨论。

证毕。

2、总结

可以发现,文献[16,17]研究的方程及其基础解包含在表1中,也就是说,定理2是文献[16,17]所研究方程的推广。另外,当(x,y,z)是方程(1)的整数解时,通过简单的计算不难验证,(dyza−x,y,z),(x,dxzb−y,z),(x,y,dxyc−z)也是方程(1)的整数解,这样就可以得到方程(1)的不止一个整数解。

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基金:陕西省教育厅专项科研计划项目(17JK0047);宝鸡文理学院校级重点项目(ZK2546)