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探究《初等数论》课程教学的改革

2019-12-28 202 上传者：管理员

摘要：《初等数论》作为数学类专业的必修课程之一，同时也是一门具有悠久历史的数学学科。目前，我国高校《初等数论》课程的教学普遍存在一些问题,作者从更新教学内容、转变教师教学观念、改进教学方法三个方面研究和探讨《初等数论》课程教学改革,并提出一些相应的改革措施,以期提高本课程的教学质量和效果。

关键词：
初等数论
改革
教学内容
教学方法
教学观念
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一、引言

《初等数论》是数学类专业的必修课程,其内容包括整数的整除、不定方程、同余(同余式)、平方剩余、原根与指标、连分数、代数数与超越数、数论函数与质数分布等^[1]。数论作为课程内容常被认为是介绍一些基础知识、解决纯数学难题的工具。但在二十世纪中后期,随着计算机技术和信息科学的发展,信息安全这一重大问题被提出。在这一背景下,数论为解决信息安全问题做出了巨大贡献,即提供了一种核心技术——公开密钥。此外,数论在组合学、编码学、最优化设计、算子理论等诸多领域都有着重要应用。因此《初等数论》课程的教学,一方面要把课本上的知识传授给学生,另一方面也要为学生日后从事相关专业的研究打好基础。但目前我国高校的《初等数论》课程教学普遍存在一些问题:首先,教师的教学观念相对落后。教师在《初等数论》的教学中普遍采用“老师教,学生学”的单一模式,这种模式往往导致学生在课堂中的参与程度较低,注意力不集中,从而导致教学效果不佳。

其次,教学内容相对陈旧。在《初等数论》的教学中,教师的教学内容一般都局限于课本上的内容,而忽略了将初等数论的知识点与实践相结合。例如,在国际奥林匹克数学竞赛中有近百分之三十五的题目需要用初等数论的知识和方法来解答;在公务员考试——《行政职业能力测试》中有部分数学试题也是考察初等数论的知识点,但是在《初等数论》的课堂中,教师很少能够将这些知识点与考题相结合,这也就使得学生在实际运用初等数论知识来解答实际数学问题的能力较差。最后,教师的教学方法相对单一。传统《初等数论》课程的教学一般是采用板书或板书与PPT相结合的方法,然而随着互联网日益发展,学生上课玩手机的现象日益普遍,这种学生参与度较低的教学方法势必会造成教学效果欠佳。针对上述问题,本文从转变教师教学观念、更新教学内容及改进教学方法三个方面,对《初等数论》的教学改革进行探究。

二、教学观念的转变

《初等数论》课程改革的首要任务是教师教学观念的转变。首先,教师应改变传统教学观念和考核模式,不再把向学生传授知识作为唯一的教学目的、把考试成绩作为考核学生的唯一衡量标准。其次,教师应引入新型教学模式,实现互动式教学,鼓励学生积极参与课堂讨论,引导学生主动学习,以小组为单位实现合作式学习,使学生最大程度的参与到课堂中去,同时也要把学生的日常表现纳入到考核中,最终实现对学生多元化、综合化、全面化的考核。

三、教学内容的更新

初等数论课程改革的关键是教学内容的更新。首先,在教学内容上应增加数学史知识。例如在讲解同余式时,向学生介绍同余式最初产生的背景,可引入《孙子算经》中提出的著名问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何”或者通过鸡兔同笼问题:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何[1]”引入。在学习不定方程时,亦可通过一个数学史中的故事引入:1637年,法国数学家费马在阅读丢番图所著《算术》(拉丁文译本)的第二卷时,曾在关于毕达哥拉斯三元数组的页面上写道:“不可能将一个立方数写成两个立方数的和;或者将一个四次幂写成两个四次幂之和;抑或是不可能将一个高于二次的幂写成两个同次幂之和。”接着他又俏皮地写下一个附注:“我对此命题有一个十分美妙的证明,这里空白太小,写不下”^[1]。或是《九章算术》中的“五家共井”问题、《张丘建算经》中的“百钱买百鸡”问题等,这些都是经典的不定方程问题。教师通过介绍知识点产生的历史背景及实际用途,一定能吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,同时也能提高学生的数学素养。

其次,教师在授课过程中应加强与数学竞赛和公务员考试有关内容的渗透。对于此类作为奥林匹克数学竞赛和公务员考试考察的重要知识点,如果教师能够在教学过程中有针对性的讲解,并加强相关题目的练习,一定能使学生全面的掌握知识点,并能够灵活运用。

此外,教师在教学过程中应适当介绍数论发展的现状、未来的发展方向以及最新的研究成果。传统教学模式认为,本科教学的任务是把书本上的知识传授给学生,而科研则是高层次人才的培养目标,这种想法往往导致教师忽视科研对教学所产生的积极作用。在现代教育中,教师应适当将数论最新的研究成果及研究方法融入到教学中去,例如在讲解“引无数英雄竞折腰”的费马大定理时,要向学生介绍此猜想产生的背景、研究过程及遇到的困难,以及经过三百多年的努力,这一问题于1994年被数学家Andrew Wiles彻底解决。在讲解黎曼-Zeta函数(s)时,介绍黎曼提出了有关素数分布的6个猜想:1892年法国数学家阿达玛证明第1、3、4猜想,1894年德国数学家曼高尔特证明了第2、6猜想。唯第5个猜想迄今未获证明,这则猜想被称为“黎曼猜想”。结合最近的大热话题:英国著名数学家、菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主迈克尔·阿蒂亚爵士(Michael Atiyah)于2018年9月24日在“海德堡获奖者”论坛上宣布他证明了“黎曼猜想”。这样的教学内容不仅能激发学生的学习热情,而且能使学生更全面、系统、彻底地掌握相关知识点,还可以培养学生的数学素养、拓宽学生的视野。

四、教学方法的改进

(一) 分层教学

数学专业的学生毕业后一部分会选择读研深造,其余选择就业的同学会有很大部分从事教师工作,针对今后要从事数学教师工作的学生,《初等数论》的教学应在讲解过程中侧重于与中小学数学知识紧密相连的部分,讲解要系统、细致。另外,针对与数学竞赛有关的知识点,在教学过程中应进行有针对性的训练,介绍同一题型的不同解法、归纳常见题型的解题技巧,让学生体会解题的乐趣。针对另一部分预备继续深造的同学,《初等数论》的教学则应注重其与交叉学科间的相互渗透。例如,初等数论中的整除与数进制和计算机紧密相连、数论函数在组合学中有重要应用、同余定理为解决密码学中的信息安全问题提供了核心技术——公开密钥,因此在讲解这些内容时要注重其应用背景,实现交叉学科间的相互渗透,为学生提供多方面的理论支持。针对不同发展方向的学生实现分层教学,侧重不同的教学内容,使每个学生不仅在初等数论课堂上学习到了课本上的知识,更为其未来的发展奠定良好的基础。

(二) “互联网+教学”模式

随着互联网日益发达,学生上课玩手机的现象屡禁不止。针对这种现象,教师在日常教学中应加强师生互动,引导学生在课堂中正确合理的使用手机。雨课堂、微助教、课立方、问卷星等就是在此背景下产生的软件。教师可以通过信息平台让学生使用手机签到,实时掌握出勤率;通过手机发送小测验要求学生作答并实时掌握学生答题情况;通过推送问题让所有学生参与到讨论中去,并实时掌握讨论情况。教师将这些软件运用到日常教学中,可以让学生由原来的“偷偷玩手机”变成现在的“不得不玩手机”。此外,教师还可以在课前用手机APP向学生推送预习任务,并通过云平台及时了解学生的预习情况,上课时有针对性的讲解,并通过实时的测验结果及时掌握学生的学习情况,合理的调整教学进度。互联网+教学模式可以通过软件记录学生出勤、预习、讨论、测验等结果,并根据这些结果客观地、全面地、准确地评价学生的学习情况。

(三) 合作式学习

传统的《初等数论》教学一般采用“老师教、学生学”方式,但是随着时代的发展,这种传统的教学方式显然已经不能吸引如今的“90后”和“00后”的学生了,他们接触的新事物多而广,因此接受能力和探究能力普遍较强,那么在《初等数论》的教学中,正好可以合理运用学生的这些特点,开展以小组为单位的合作式学习模式。教师讲解知识点的基本理论框架,学生以小组为单位展开深入学习,这种教学方式可以让学生最大程度的参与到课堂中去,不同的小组会有不同的学习和探究方式,学生可以以成果汇报的形式向老师和同学展示自己小组的学习成果,教师根据学生的汇报情况进行补充和总结,不断引导学生自主学习、合作式学习。

四、总结

综上所述,通过对《初等数论》课程从教师教学观念、教学内容、教学方法三方面的改革,希望学生能够更好地掌握《初等数论》的知识,并能够将本课程所学到的知识真正运用到日后的工作和学习中去。

参考文献：

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王婧哲.《初等数论》课程教学改革研究[J].内蒙古财经大学学报,2019,17(2):115-117. DOI:10.3969/j.issn.2095-5871.2019.02.031.