当飞机、车、船及火车运行速度较高时,湍流边界层激励的结构振动噪声成为该类交通工具内噪声的重要组成部分,会大大降低乘坐舒适度。舰艇在10kn以上中高航速时,流激振动噪声是声呐自噪声的重要组成部分,对声呐正常工作有不利影响[1]。

湍流边界层激励结构振动主要包括湍流壁面脉动压力功率谱和结构随机振动响应功率谱两大内容。

经历了六十多年的发展,相继出现了Chase、Goody等湍流边界层壁面脉动压力自功率谱模型,以及Corcos、Chase等湍流边界层壁面脉动压力互功率谱模型;其中,Goody自功率谱模型和Chase模型适用于低马赫数航行的船舶绕流边界层[2]。

1970年代以来,Strawderman等[3]采用模态叠加法,Mazzoni等[4]采用结构有限元法,Davies等[5,6]采用统计能量法研究了简支矩形平板受湍流壁面脉动压力激励的振动及声辐射特性;Graham等[7]采用波数域模态叠加法对比分析了不同湍流壁面脉动压力半经验模型对平板结构振动声辐射的影响。

飞机、汽车等空气动力学领域,2006年以来,Ciappi等[8,9,10]采用湍流壁面脉动压力Corcos、Chase等半经验模型以及物理空间结构模态叠加法研究了铝板、复合材料层合板等受湍流壁面脉动压力激励的振动及声辐射。VanHerpe等[11,12]采用大涡模拟数值计算获得湍流壁面脉动压力,并采用模态叠加法和统计能量法求解车窗振动及内噪声,发现汽车行驶这类低马赫数运动,可以忽略内场声压对平板振动的影响。

船舶等水动力学领域,Hwang等[13,14,15,16]分别采用波数域模态叠加法和有限元法研究了水中平板及声呐导流罩受湍流壁面脉动压力激励的振动。其指出:与飞机、汽车相比,船舶运动速度较低,迁移波波长远小于结构弯曲波波长,不会出现水动力巧合现象(HydrodynamicCoincidence)。

国内,2014年以来,陈美霞等[17]采用半解析半数值的模态叠加法研究了受湍流壁面脉动压力激励的圆柱壳振动声辐射;Cao等[18]研究了某复合材料夹层板受湍流壁面脉动压力激励的振动及内噪声。李东升等[19]采用波数域模态叠加法研究了加筋板受湍流壁面脉动压力激励的结构振动及内噪声。

在前人的研究基础上,本文首先验证离散物理空间或波数域模态叠加法的可靠性,通过该方法研究湍流壁面脉动压力激励的平板振声特性。物理空间或波数域模态叠加法中拟采用离散数值积分代替解析积分。对简支矩形平板这类已知振型解析解的结构,其模态叠加法属于解析法,而离散物理空间的模态叠加法属于一种半数值半解析法。

1、物理模型

1.1 湍流边界层壁面脉动压力功率谱

统计定常、均匀的湍流边界层壁面脉动压力场为宽平稳、各态遍历随机过程,一般采用壁面脉动压力功率谱作为结构振动响应的输入载荷。根据湍流脉动能量分布域的不同,功率谱可分为自功率谱、互功率谱(物理空间-频率谱)和波数-频率谱等。

流体密度ρ0,动力黏度μ0,运动黏度v0,自由流流速U0,边界层迁移速度Uc,流体中声波波速c0。湍流壁面脉动压力互功率谱Corcos模型为

式中:ξx,ξy分别为流向和展向间距;ω为圆频率;i为虚数单位,展向和流向相干函数衰减因子为α=0.015,β=0.7。空间Fourier变换为

湍流边界层壁面脉动压力波数-频率谱Corcos模型见式(2),其中脉动压力迁移波数为kc=ω/Uc

湍流边界层壁面脉动压力波数-频率谱的改进型Corcos模型为,

湍流边界层壁面脉动压力自功率谱的Haddle模型为

式中:CH1=0.75×10-5CH2ρ2U3003δ*。空气中,CH2=3.0;水中,CH2=1.0。

湍流壁面脉动压力自功率谱Goody模型[20]为

式中:C1=0.5;C2=3.0;C3=1.1R−0.57TΤ-0.57;RT=(δ/Ue)/(v0/u2ττ2),δ为边界层厚度,uτ为壁面摩擦速度;Ue为边界层外缘速度,对于平板湍流边界层近似认为Ue=U0。

1.2 湍流边界层激励下平板振动的模态叠加法

xy平面内均质各向同性矩形薄板的运动方程为

平板长Lx,宽Ly,平板面积A,弯曲刚度D,杨氏模量E,密度ρ,泊松比v,厚度h,面密度μ=ρh。湍流壁面脉动压力场可看作一种平稳随机过程,湍流壁面脉动压力激励之间具有相干性。湍流边界层壁面脉动压力激励平板振动的示意如图1所示,其中,s1=(xp,yp),s2=(x′p,y′p)为载荷激励点,r1=(x1,y1),r2=(x2,y2)为平板响应点。

图1湍流边界层壁面脉动压力激励平板示意图

1.2.1 物理空间模态叠加法

根据物理空间的模态叠加法,平板上任意一点(x,y)受湍流壁面脉动压力载荷激励的振动位移自功率谱为

1.2.2 波数域模态叠加法

由波数域模态叠加法计算平板任意一点的湍流激励振动速度自功率谱见式(12),平板面积且时间平均的湍流激励平板振动速度平方见式(13)。

式中:r=(x,y);k=(kx,ky);平板面积为A=LxLy;频响函数幅值为Wmn=4μLxLy[ω2mn(1+iη)−ω2]Wmn=4μLxLy[ωmn2(1+iη)-ω2];波数域频响函数为G(r,k,ω),其幅平方|G(r,k,ω)|2|G(r,k,ω)|2即敏感度函数(SensitivityFunction);波数域形函数为;Imn(k=∫d2s·φmn(s)·exp(-iks);“<·>”为面积平均;“-”为时间平均;Svv(ω)即面积平均的平板速度自功率谱。

湍流壁面脉动压力波数-频率谱Spp(k,ω)采用Corcos或改进型Corcos模型,数值积分求解式(13)式(14),波数域阈值为kx=max(kb,kc),其中平板弯曲波数kb=μω2/D−−−−−−√4kb=μω2/D4,波数域离散间距(Δkx,Δky)=(π/Lx,π/Ly)。

1.3 平板振动内噪声的统计能量法

采用统计能量法计算平板振动内噪声,避免高频时大量模态叠加的繁复运算。平板受湍流壁面脉动压力载荷激励,其正下方为内声场即声腔,平板-声腔系统的能量关系图如图2所示,平板与声腔两个子系统的功率平衡方程为

图2平板-声腔系统的能量关系图

图2中P为时间平均功率,W为时间平均能量。频率平均的平板振动辐射声功率为

Π¯¯¯rad=ρ0c0Aσ¯r⟨|v¯|2⟩=P12Π¯rad=ρ0c0Aσ¯r〈|v¯|2〉=Ρ12(15)

频率平均的与任一频率的平板振动辐射声功率的关系为

根据VanHerpe等的研究,内场介质为空气时,可以只考虑平板振动向内场辐射声,而忽略内场声压对平板反作用,P21=0。因此,

声腔阻尼损耗因子可由混响法确定,声腔体积为V,声腔与平板接触面积为A,由赛宾(Sabine)公式,混响时间为Tr≈0.16V/A。声腔阻尼损耗因子与混响时间的关系式为

e-ωη2Tr=10-6(21)

声腔内总声压级为

任意频率下声腔内声压级为

2、计算方法验证

2.1 湍流边界层激励下平板振动

采用模态叠加法对湍流边界层激励下平板振动响应进行了计算,湍流边界层壁面脉动压力自功率谱采用Haddle模型,波数-频率谱采用Corcos模型。案例1和案例2的平板结构参数和边界层时均参数见表1。案例1介质为水,计及平板内外侧半无限大水域的附加质量;案例2介质为空气,忽略空气对平板的反作用。

案例1湍流边界层激励下平板中心点振动速度自功率谱本文计算值(灰色实线)与文献参考值(黑色虚线)的对比如图3所示。案例2湍流边界层激励下平板中心点振动加速度自功率谱本文计算值(灰色实线)与试验值(黑色实线)以及文献参考值(黑色虚线)的对比如图4所示,对结果分析如下:

图3平板振动速度自功率谱计算值与参考值对比

(1)波数域或物理空间模态叠加法算得的平板流激振动速度、加速度自功率谱计算值与文献参考值(解析解或试验值)吻合良好。

(2)中高频,波数域或物理空间的模态叠加法对平板振动速度、加速度自功率谱的计算结果与解析解吻合较好;低频谷值吻合较差,原因可能是本文采用公式ωwl=ωmn/(1+2ρ/ρhkmn)−−−−−−−−−−−−−√ωwl=ωmn/(1+2ρ/ρhkmn)只计及水的附加质量,而未考虑水中声压对结构的反作用。

图4平板振动加速度自功率谱计算值与参考值对比

2.2 湍流边界层激励下平板振动内噪声

采用波数域模态叠加法计算面积平均的平板流激振动均方速度,再根据统计能量法计算平板振动内噪声。案例2的湍流边界层激励下平板振动内噪声声压自功率谱计算值与参考值对比如图5所示。结果表明:内声场声压自功率谱计算值与文献参考值以及试验值吻合良好。

图5湍流边界层激励平板振动内噪声声压自功率谱

综上,湍流边界层激励下平板振动的物理空间或波数域模态叠加法以及内场噪声的统计能量法的有效性得到了较充分地验证。

3、低马赫数湍流边界层激励下平板振声特性

以流体介质声速为参照,案例1属于低马赫数(Ma≪1)水流,其湍流边界层迁移波和平板结构弯曲波的色散关系如图6所示,从图中明显看出迁移波数kc远远大于弯曲波数kb。

图6湍流边界层迁移波与平板弯曲波色散关系

采用波数域模态叠加法时,波数域阈值kx=max(kb,kc),波数阈值分别取100π和kb时,湍流边界层激励下平板振动速度自功率谱如图7所示。某一频率下湍流边界层壁面脉动压力波数-频率谱、平板波数域敏感度函数及二者乘积进行了对比如图8所示,图8(a)和图8(b)分别对应案例1和案例2,波数阈值取100π。

图7不同波数阈值对应的平板振动速度自功率谱

由图7知两种波数域阈值下,水下平板振动速度自功率谱基本无差异,即湍流壁面脉动压力波数-频率谱迁移脊(云图中亮白色区域)对水下平板的激励作用并不明显。

案例1和案例2分别对应水中低速运动船舶和空气中高速运动飞机这两个工程实例,区别主要在于:空气中流速较高,湍流边界层迁移波数较小。从图8明显看出:与空气中情况相比,迁移脊对于水中平板振动响应的作用较不明显,可予以忽略。综上,忽略湍流壁面脉动压力迁移脊,波数阈值取为kb即可,从而大大提高计算效率。对于湍流边界层激励下平板振动,物理空间离散一般要求Δx≤1/4λc,对于水下低马赫数(Ma≪1)流动迁移波长较短,往往需要较小的离散间隔从而增加数值计算量,采用波数域离散时忽略了迁移脊从而避免了这种情况。

图8湍流壁面脉动压力波数-频率谱、平板波数域敏

感度函数及其乘积

对于水中低马赫数运动的舰船,Hwang等指出:Corcos模型往往高估湍流边界层壁面脉动压力功率谱低波数区谱级,并提到一种改进型Corcos模型弥补了原型的不足。因此下文采用湍流边界层壁面脉动压力功率谱改进型Corcos模型。

下面,对于同一内声场,研究加筋平板的肋骨间距对湍流边界层激励下平板振动及内噪声的影响。以舰艇艏部声呐导流罩在湍流边界层激励下的振动及内噪声为工程背景,一般舰艏导流罩壳板受较强的湍流壁面脉动压力载荷激励时,所处区域曲率较小,因此忽略曲率简化为矩形平板,并将边界设为四边简支。声呐工作频段也即声呐自噪声的关注频段一般在1～8kHz,文献[22,23]指出:结构响应频率较高时,可以假设筋两侧板格各自独立振动,板格在筋板处满足简支边界条件,因此本文暂不考虑板与筋的耦合作用。内声场尺寸为0.9m×0.6m×0.5m,平板(板格)尺寸有0.9m×0.6m,0.9m×0.3m,0.9m×0.2m等3种;平板尺寸0.9m×0.6m,0.45m×0.6m,0.3m×0.6m等3种;平板厚度均为4mm。平板与内声场几何示意图如图9所示。平板及内声场材料参数见表2。

图9平板(板格)与内声场几何示意图

采用近似公式ωwl=ωmn/(1+2ρ/ρhkmn)−−−−−−−−−−−−−√ωwl=ωmn/(1+2ρ/ρhkmn)计算平板湿模态特征频率以计入平板内外侧附连水质量。水流流速U0=6m/s,相当于实船11kn航速;边界层迁移速度Uc=0.65U0,流体密度ρ0=999kg/m3,运动黏度为v0=1.16×10-6m2/s。为保证湍流边界层壁面脉动压力功率谱有较高的幅值,以有效激励起平板振动,平板前缘流向距离x取作1m,当地雷诺数Rex=5.17×106,为充分发展湍流边界层。平板区域内边界层厚度以及壁面摩擦速度均以平板前缘的值为准,根据充分发展湍流边界层经验公式求得δ=0.37x(Rex)−0.2,Cf=2τwρ0U20=0.045(U0δv0)−0.25δ=0.37x(Rex)-0.2,Cf=2τwρ0U02=0.045(U0δv0)-0.25。边界层时均参数计算结果见表3。

采用Goody模型计算湍流边界层壁面脉动压力自功率谱Spp(ω)如图10所示。由于平板尺寸不大,忽略边界层厚度沿平板流向的变化,湍流边界层是均匀的,湍流壁面脉动压力自功率谱不随位置变化。

图10湍流脉动压力自功率谱

平板加筋后,假设筋板两侧板格仍为四边简支矩形平板,并假设内声场辐射声功率为各个板格贡献量的线性叠加。加筋平板(实际上为相对独立的板格)的振动速度自功率谱对比如图11所示,加筋平板对应的内声场声功率级对比如图12所示。

从图11和图12可以得出以下结论:

(1)横向加筋和纵向加筋对平板受湍流边界层激励的振动速度功率谱级基本无影响;

(2)横向加筋后,平板受湍流边界层激励的振动声辐射功率级在2000Hz以上频段稍有降低;

图11横向或纵向加筋平板的振动速度自功率谱对比

图12横向或纵向加筋平板对应的内声场声功率级对比

(3)纵向加筋后,平板受湍流边界层激励的振动声辐射功率级在2000Hz以上频段,多个峰值明显降低。

筋板两侧板格看作四边简支矩形薄板,内声场辐射声功率为各板格贡献量的线性叠加,平板总面积没有变化,图11的现象主要是加筋改变板格长宽比和板格流向长度造成的(长宽比为AR=min(Lx,Ly)/max(Lx,Ly),AR≤1)。

根据Li的研究,随平板长宽比降低,3000Hz以下的平板模态声辐射效率明显降低,纵向加筋后,板格按长宽比由高到低排序为:0.9m×0.6m(AR=0.67),0.9m×0.3m(AR=0.3),0.9m×0.2m(AR=0.2),这与纵向加筋后平板流激振动辐射声功率降低的趋势是一致的。

横向加筋后,板格按长宽比由高到低排序为:0.45m×0.6m(0.75),0.9m×0.6m(0.67),0.3m×0.6m(0.5),即横向加筋后板格长宽比不一定降低。文献[24]指出:流向长0.5Lx板格的(2,1)模态对应长Lx板格的(4,1)模态,低于声学临界频率时,低阶模态声辐射效率高于高阶模态。综上横向加筋后,平板流激振动辐射声功率基本无变化。

4、结论

本文验证了波数域离散的模态叠加法计算湍流边界层激励的平板振动及内噪声问题的准确性,研究了提高计算效率的波数阈值选取方法,并采用湍流边界层壁面脉动压力自功率谱Goody模型和波数-频率谱改进型Corcos模型结合离散波数域的结构模态叠加法以及统计能量法研究了水中低马赫数湍流边界层激励下平板振动及内场自噪声特性,结果表明:

(1)水中低马赫数流动,湍流边界层壁面脉动压力迁移波数大于平板结构弯曲波数,迁移脊对结构响应的作用可以忽略;波数阈值取平板弯曲波波数即可,提升了该方法的计算效率。

(2)横向或纵向加筋对平板振动速度自功率谱级基本无影响。

(3)横向加筋后,平板受湍流边界层激励下振动声辐射功率级基本无变化。

(4)纵向加筋后,平板受湍流边界层激励的振动声辐射功率级在2000Hz以上频段,多个峰值明显降低。

舰艇中高速航行时,湍流边界层激励下壳板振动及内场声辐射成为声呐自噪声的主要成分之一,假设声呐导流罩曲率较小,缩小板格长宽比并且在满足结构刚度设计的基础上适当增大流向长度有利于声呐自噪声减振降噪,从而利于声呐中高频段(如2000Hz以上)的工作。当然,本文暂未考虑板与筋的耦合,并且只计入了水域的附加质量,而未考虑水域与结构的其他耦合作用,该方面仍有待进一步研究。

参考文献：

[17]陈美霞,魏建辉,乔志,等.湍流激励下结构振动特性的半解析半数值算法研究[J].振动工程学报,2011,24:689-695.

[19]李东升,徐海宾,蔡卫丰,等.声呐平台噪声控制机理分析[J].船舶力学,2017,21(7):907-913.

徐嘉启,梅志远,李华东,周振龙.湍流边界层激励下加筋平板振声响应特性研究[J].振动与冲击,2020,39(14):156-163.

基金:国家自然科学基金(51609252).