1、问题提出

数学教学也就是数学语言的教学。语言是离不开阅读的。数学文本的独特性使得数学阅读较语文、英语阅读有很大的不同。

国内外学者对数学阅读能力的研究进行了广泛关注。美国学者贝尔（1990）[1]认为数学阅读和一般阅读大不相同，数学阅读要求精确、条理、灵活和精力集中。在阅读数学课本时，读者必须了解每个数学术语和符号的精确含义。邵光华（1999）[2]认为，数学阅读过程同一般阅读过程一样，是一个完整的心理活动过程，包含语言符号（文字、符号、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。胡理华（1999）[3]认为数学阅读能力一般分为认读水平、概述水平、辨析水平、串联水平、领悟水平、研究水平。喻平（2004）[4]提出数学能力结构的3个层面：元认知能力、共通任务的能力和特定任务的能力，而数学阅读能力是指阅读、领会和理解数学材料的能力，属共通任务能力成分之一。辛自强（2004）[5]认为学生对数学文本的理解至少发生在如下4个层次上：理解词汇和符号，词汇和符号之间的互译问题，在“篇章”水平或者整体水平上理解数学问题，建构合适的问题模型。MagnusÖsterholm（2006）[6]认为有符号数学材料的阅读过程是一种特殊的理解过程，需要特殊的读写能力。阅读不同类型的数学材料需要不同的技能。秦麗花（2006）[7]指出数学阅读强调数学文本如何说明概念。杨红萍（2010）[8]指出数学阅读是从数学文本中获取意义的、积极的认知心理过程。而要获取意义，需要对字符（文字、符号与图形的总称）进行正确编码，对文字、符号、图形3种语言进行正确转译，并且能够对文本进行综合理解。

中国学者对数学阅读能力研究的关注度持续上升。近年来，中、高考出现了越来越多的测试数学阅读理解能力的题目。首先，题目的信息量越来越大；其次，关注学生对数学文字语言、符号语言、统计数字、图表等之间的转换能力；再次，强调学生对文本进行整体的把握和理解能力。项目组从2008年起就一直致力于数学阅读的深入系统的研究。

而关于阅读能力结构的实证研究一直是国内外心理学界的一个重要课题。原苏联心理学家克鲁捷茨基，通过活动分析法，对中小学生数学能力结构进行了长达12年之久的研究，提出了数学能力的9个成分[17]。活动分析法对此后能力结构的研究产生了重要影响。许多学者对语文阅读能力结构进行了实证研究。莫雷（1996）采用“活动—因素分析法”和“鉴别性测验插入法”分别对小学六年级、初中三年级和高中三年级学生语文阅读能力结构进行了研究。李毓秋与张厚粲等（2001）采用验证性因素分析法对小学四年级至初中一年级学生阅读理解能力结构成分进行了研究。罗照盛与张厚粲（2001）以小学六年级、初中一年级、初中三年级学生为样本，通过因素分析，对中小学生语文阅读理解能力结构及其发展特点进行了研究。

综合以上，目前学界对语文阅读能力构成的研究比较成熟、系统，而对数学阅读能力构成的研究，依然停留在理论研究与经验总结的层面，缺少研究方法上的突破。鉴于此，研究通过“活动—因素分析法”探讨小学生数学阅读能力结构的具体成分。

2、研究方法

能力结构的研究方法主要可以分成以西方为代表的因素分析法和以苏联为代表的活动分析法。因素分析法是把一组反映事物性质、状态、特点等的变量简化为少数几个能够反映出事物内在联系的、固有的、决定事物本质特征的因素的统计分析方法。西方的因素分析法未能解决测验设计与结果解释的客观性问题。

苏联学者提出了以活动为中心研究能力结构的活动分析法。首先对与某能力有关的活动进行分析,据此提出该能力结构模式的假设,然后按照所设想的能力结构各因素设计相应的实验作业,让能力不同的被试个别完成,并对他们的完成过程进行定性分析,以检验原先所设想的能力结构各因素是否符合实际,最后确定能力结构。这种方法是直觉的、经验的,也难以保证能力结构的完整性及结构中因素组合的合理性。

为了克服以上两种研究方法的局限，20世纪70年代后,学界对能力的研究出现了新的动向。莫雷综合各自的优势提出了“活动—因素分析法”。“活动—因素分析法”认为，能力是在个体的活动中起调节制约作用的，通过具体地对个体完成各种分测验的过程作定性的分析研究,便可以揭示调节这些活动的内隐的心理特质。因此，可以将对各因素有高负荷的分测验内容分别编制成相应的个别作业，让学生个别完成，然后对这个完成过程作定性分析，揭示其心理机制，从而据此对因素做出解释，称为活动鉴别法。

因此，研究采用“活动—因素分析法”探讨小学生数学阅读能力的结构，具体思路如下。（1）通过文献研究，从理论上拟定“数学阅读能力结构”的维度。为了确保维度的准确性，编制《数学阅读能力结构因素调查问卷》，对高校数学课程与教学论教师及一线数学教师进行调查，初步确定“数学阅读能力结构”的维度。（2）编制《小学三年级学生数学阅读能力测试卷》和《小学六年级学生数学阅读能力测试卷》，分别对小学三年级和六年级学生施测，通过因子分析，得出各年级数学阅读能力的构成因素。（3）对经因子分析后不明确的因素采用活动分析法进行鉴别，鉴别其数学本质并进行重新命名，最后确定各年级数学阅读能力的构成因素。

3、小学生数学阅读能力结构因素的初步析取

采用同文的研究思路进行小学生数学阅读能力结构因素的初步析取，最终确定10个成分，这10个成分的名称及含义见表1。表1数学阅读能力的成分假设依据以上10个成分假设，从小学数学教材、期刊论文、历年硕博论文中，筛选整合题目,分别编制《小学三年级学.生数学阅读能力测试卷》和《小学六年级学生数学阅读能力测试卷》.以X,X2...,Xg,Xn分别表示10个成分，每一个成分1~3题,题型为选择题和简答题。总分100分.每-题重点测查数学阅读的某一成分对其中涉及的数学阅读过程进行考察.整套测验限定完成的总时间为45分钟

4、小学三年级学生数学阅读能力结构的因子分析

《小学三年级学生数学阅读能力测试卷》共15道题，各维度分值相同，总分100分。其中，1（1）（10分）测试概念理解，3（2）（2分）、4（4分）、7（4分）测试语言互译，9（10分）测试抽象概括，10（1）（5分）、10（2）（5分）测试空间想象，6（1）（4分）、8（1）（4分）、8（2）（2分）测试阅读推理，2（10分）测试模式识别，8（3）（10分）测试阅读迁移，6（2）（10分）测试阅读元认知，3（1）（5分）、5（5分）测试信息筛选，1（2）（10分）测试信息整合。从临汾市的一所重点小学三年级选取一个班进行预测。对数据进行分析，得到克隆巴赫系数α=0.716，表明问卷具有良好的信度。对各题项、总分进行交互相关分析，得到各题项与总分之间均存在显著性相关，表明各子维度都对总分做出贡献，问卷具有良好的结构效度。正式施测的被试来自临汾市3所小学，有效测试卷381份，对收集到的数据进行因素分析，结果如表2。表2KMO和Bartlett的检验

从表2看出：KMO和Bartlett的检验结果，KMO的值为0.641，巴特利特球形检验给出的相伴概率小于0.001，说明10个变量之间不独立，可进行因素分析。用主因子法抽取公因素，按照累计贡献率大于80%确定公因素数量。由表3可以看到，6个因子累积描述了原变量的80.17%，可以较好地反映原变量的信息，因此可以从10个变量中提取出6个因子，即是小学三年级学生数学阅读能力的主要成分。表3解释的总方差正交旋转后，得出旋转因素负荷矩阵。一般来说，负荷量在0.7以上为高，0.5~0.69为较高。对结果进行整理，将同一因子负荷在0.5以上的分测验排在一起，0.5以下的负荷值忽略，如表4。可以看出，因子1在X2、X9上有较大负荷；因子2在X1、X3上有较大负荷；因子3在X7、X6上有较大负荷，因子4在X5上有极高负荷，因子5在X4、X8上有较大负荷，因子6在X10上有极高负荷。表4旋转成份矩阵

5、小学六年级学生数学阅读能力结构的因子分析

《小学六年级学生数学阅读能力测试卷》共14道题，各维度分值相同，总分100分。其中，5（1）（5分）、8（1）（5分）测试概念理解，4（2）（2分）、5（2）（4分）、6（4分）测试语言互译，7（2）（10分）测试抽象概括，3（10分）测试空间想象，7（1）（10分）测试阅读推理，1（1）（5分）、2（5分）测试模式识别，7（3）（10分）测试阅读迁移，1（2）（10分）测试阅读元认知，4（1）（10分）测试信息筛选，8（2）（10分）测试信息整合。

从临汾市的一所重点小学六年级选取一个班进行预测。对数据进行分析，得到克隆巴赫系数α=0.716，表明问卷具有良好的信度。对各题项、总分进行交互相关分析，得到各题项与总分之间均存在显著性相关，表明各子维度都对总分做出贡献，问卷具有良好的结构效度。正式施测的被试来自临汾市3所小学，回收有效测试卷395份，对收集到的数据进行因素分析，结果如表5。表5KMO和Bartlett的检验从表5可以看出KMO和Bartlett的检验结果，KMO的值为0.739，巴特利特球形检验给出的相伴概率是0.000<0.001，说明10个变量之间不是独立的，可以进行因素分析。用主因子法抽取公因素，按照累计贡献率大于80%确定公因素数量，由表6可以看到，6个因子累积描述了原变量的82.61%，可以较好地反映原变量的信息，因此可以从10个变量中提取出6个因子，即为小学六年级学生数学阅读能力的主要成分。

正交旋转后，得出旋转因素负荷矩阵如表7。可以看出，因子1在在X1、X3上有较大负荷；因子2在X2、X9上有较大负荷；因子3在X7、X6上有较大负荷，因子4在X10、X8上有较大负荷，因子5在X4上有极高负荷，因子6在X5上有极高负荷。表6解释的总方差；表7旋转成份矩阵

6、小学生数学阅读能力结构因素的鉴别

以上分别对小学三年级和六年级学生数学阅读能力成分进行了因素分析，结果显示，小学三年级和六年级的数学阅读能力结构都由6个因素构成。然而析取出的成分仅停留在统计层面，缺少心理学意义。因此，还需分别对这6个成分进行鉴别，明确其心理实质，从心理学角度对其进行解释。

(1) 活动分析法鉴别的因素

各年级的因子分析结果表明，小学三年级在因子1、因子2、因子3、因子5上均有两个负荷较高的变量，小学六年级在因子1、因子2、因子3、因子4上均有两个负荷较高的变量。需要采用活动分析法来分别鉴别各年级的4个因子的心理实质。

活动分析法的具体做法如下。

被试：在三年级、六年级的原被试中分别选数学阅读水平上、中、下各5人，每个年级15人，两个年级共30人。材料：编制各年级的鉴别材料。三年级对因子1、2、3、5各编制1题作为个别测试作业，六年级对因子1、2、3、4各编制1题作为个别测试作业。测试作业按对应的有较高负荷的变量的分测验基本内容编制。

过程：首先对被试进行“出声”训练，力求受试者自然而然地出声思考。然后用上述个别作业对被试进行单独测试，要求被试在阅读数学材料的同时或刚刚完成之后，将自己头脑中的思维活动、各种心理操作等用口头方式报告出来，辅以相关的笔录。当被试言语表达受阻时，研究者需将方法作调整，更多地依靠有关解法的记录以及同受试者的讨论获得完整而真实的思考过程。

① 编制活动鉴别材料

小学三年级因子1上负荷较高的变量是X2、X9，因此因子1的测验题编制采用X2维度的题（第1（3）题）和X9（第1（1）题）维度的题；因子2在X1、X3上有较大负荷，因此因子2的测验题采用X1（第4（1）题）和X3（第3题）；因子3在X7、X6上有较大负荷，因此因子3的测验题采用X7（第4（2）题）和X6（第1（2）题）；因子5在X4、X8上有较大负荷，因此因子5的测验题采用X4（第2题）和X8（第1（3）、4题）。

小学六年级因子1在X1、X3上有较大负荷，因此因子1的测验题采用X1（第4（1）题）和X3（第2（1）题）；因子2在X2、X9上有较大负荷，因此因子2的测验题采用X2（第1题）和X9（第3（2）题）；因子3在X7、X6上有较大负荷，因此因子3的测验题采用X7（第2（2）、4（3）题）和X6（第3（1）题）；因子4在X10、X8上有较大负荷，因此因子4的测验题采用X10和X8（第4（2）题）。

② 活动分析法鉴别过程

将两个年级参与正式测试的原被试分别进行分类：在正式施测中成绩排名前14%为较好，成绩排名15%~86%为中等，成绩排名后14%为较差。在每个年级的原被试中选数学阅读水平上、中、下各5名学生作为活动鉴别的被试，两个年级共30人。首先对被试进行出声完成测试的训练，要求被试尽可能地详细说出思考过程。接下来是对两个年级的因子鉴别过程。

三年级的因子1和六年级的因子2有且只有相同的较高负荷变量X2、X9，这两个分测验都属于考察对数学语言形式的把握。虽然两个年级的鉴别材料不同，但是对被试完成鉴别材料的出声表述进行分析，结果显示，影响完成这两个分测验的主要因素是被试对材料中信息的选择与转化。

在各年级中，优等生可以从材料中筛选出对理解有意义、有助于解决问题的信息，并对其进行加工，根据需要对数学语言灵活转化。中等生局限于材料中的某一具体形式，无法对数学材料进行整体分析把握、对信息进行取舍和转化，有时对材料中无用信息的加工增加了认知负担，降低了阅读的效率。他们往往要反复思考、阅读，才能舍弃材料中多余的信息，实现对关键信息的提取，并转化成有利于解决问题的数学语言形式。对于学困生，则表现出对数学材料的无从下手，往往对数学材料中出现的条件不能形成整体的感知，对于数学语言形式不敏感，尽管他们知道语言形式之间的转化，但是在材料的阅读过程中，意识不到材料中信息的价值以及相应语言形式的特点。因此很少能挖掘出新的信息，正确理解材料。

从以上分析可以发现，对高负荷的分测验X2、X9的完成，依赖于读者对阅读材料中数学语言的敏感程度，都经历着将材料中有用信息提取、转化的过程，能否将材料中的语言转化成更利于解决问题的语言是完成这两个分测验的关键。因此，三年级的因子1和六年级的因子2可以鉴定为语言互译能力。

三年级的因子2和六年级的因子1有且只有相同的较高负荷变量X1、X3，这两个分测验都是考察学生对阅读材料的抽象与具体的转化。虽然两个年级的鉴别材料不同，但是对被试完成鉴别材料的出声表述进行分析，结果显示，影响完成这两个分测验的主要因素是被试对材料中信息的抽象与具体的转化能力。

在各年级中，优等生可以灵活地将抽象的概念转化成更为具体的信息，在概念具体化的过程中抓住已知条件下的隐藏信息，且具有较强能力的数感，能够正确计算题目中所需要的数据，同时可以从现象中进行抽象，并概括其规律进而推广应用，逐步实现对材料的更深入理解。中等生较容易停留在数学材料的呈现内容上，虽能够理解概念的含义，但在将概念具体化的过程中容易遗漏条件，导致重要的隐蔽信息没被挖掘出来。此外，中等生对于具体的数据、具有共同特征的现象缺少将其归纳、抽象、概括的意识，进而导致材料理解困难和片面。而学困生则很难理解材料中的概念，完全找不到材料中存在的普遍规律，更无法将其概括，在研究人员的提示下，艰难地找到共同特性，但是表达片面、不准确。

从上面的分析可以看出，对高负荷分测验X1、X3的完成，需要读者对材料中抽象概念准确的理解，能从具体现象中抽象出一般的特征，并加以概括。数学概念是“抽象概括”得来的，可以说“抽象概括”能力是“概念理解”的前提。因此，可以鉴定三年级的因子2和六年级的因子1为概念理解能力。

三年级的因子3和六年级的因子3有且只有相同的较高负荷变量X7、X6，这两个分测验都属于考察对数学材料的联系与运用。对两个年级被试完成鉴别材料的出声表述进行分析，结果显示，他们在完成这两个分测验对应的鉴别材料时，都表现出一种将所读材料与认知结构联系的心理过程。

优等生在阅读中能快速地找到问题的关键，并能将材料与以前的知识建立联系，以此为基础来解决问题。所以优等生可以快速且准确地解答该测试所有的问题。中等生基本可以将材料与头脑中的既有知识联系起来，但是过程中耗费的时间较优等生要长，知识对接的准确性以及思路的条理性等方面较优等生要差些，因而会导致理解偏差，有时会出现解题错误。5名中等生能够解决大部分题目。学困生的情况则大不相同，他们虽然也能将数学材料与先前的经验建立联系，但建立联系所用的时间很长，难以完整、准确地找到与材料相匹配的知识，还会受到先前知识的干扰，影响材料的阅读，在研究者的提示下，艰难、曲折地完成对材料的阅读。

由此可见，对分测验X7、X6的完成，都经历着将材料与已有的相关概念、公式法则、思想方法等相联系，并运用到新情境中。该过程中联系的速度、准确性和完整性直接关系到完成分测验的效率和质量。因此，可以鉴定三年级的因子3和六年级的因子3为阅读迁移能力。

此外，三年级的因子5在X4、X8上有较大负荷。通过对被试的出声表述进行分析，发现在完成这两个分测验时，都表现出利用空间想象对数学材料进行分析、并及时进行调整的能力。所有被试都知道需要通过空间形式的观察、分析、抽象来理解数学材料，但是不同的学生表现又有差异。

优等生在阅读材料时，可以快速、准确地构建出空间形式，能够流畅地表达出空间位置关系。当空间形式较为复杂时，能够及时做出思路调整。中等生则有些曲折，他们从数学材料中抽象出空间形式花费的时间较长，准确程度不高，不能及时调整思路，研究者适当提示之后可以实现策略调整。学困生在理解材料时，即使研究者提示很多，他们也不能形成正确的空间关系，缺少对空间思考过程的监控，当遇到无法理解的内容时，不会调整阅读策略，甚至想要放弃。

可以看出，完成分测验X4、X8，都需要读者具备完善的空间观察、分析和抽象的能力，形成空间形式的速度和准确性直接关系到完成分测验的质量。因此，可以鉴定三年级的因子5是空间想象能力。

最后，六年级的因子4在X10、X8上有较大负荷，这两个分测验主要考察的是学生能否形成对数学材料的综合理解。

优等生可以通过认真阅读材料，从中读取信息，挖掘隐含的条件，同时形成材料之间、材料与已有知识方法之间的联系，用自己的语言复述题意，以达到对材料的综合理解。中等生则需要通过增加阅读材料的次数，才能挖掘出材料的深层含义。当阅读受阻时，不能做出及时的调整，导致阅读效率较低。学困生阅读完数学材料，无法形成对内容的整体把握，只是零散的信息点，缺少在理解过程中对理解策略的监控和调整，在数学材料的综合理解上存在较大问题，需要研究者不断提示才能艰难完成对材料综合理解。

由以上分析可以看出，完成分测验X10、X8，需要被试具有较强的文本信息整理、综合理解的能力。因此，可以鉴定六年级因子4为信息整合能力。

(2) 直接鉴别的因素

可以直接鉴别其心理实质的因素有三年级因子4和因子6、六年级因子5和因子6。

三年级因子4和六年级的因子6有且只有在X5分测验上具有高负荷。该分测验主要考察阅读推理，阅读推理是指在阅读中按照逻辑规则进行推断、类比、归纳的能力。推理能力强的学生能够很快发现问题的实质，并能进行正确灵活的推理，而推理差的学生在问题面前总是徘徊，推理强的学生能够做到逻辑推理严谨，推理结果完整，而推理能力差的学生逻辑推理结果是残缺的。因此，可以认为因子4是阅读推理能力。

三年级的因子6在信息整合X10上具有高负荷。该分测验主要考察的是学生能否形成对数学材料的综合理解。这是一个对数学材料的感知、领会与应用的过程。研究表明，学业成绩优秀的学生在阅读时，通过认真读取材料，获得有关信息，并能够洞察信息之间的联系，产生有意义的联想。他们有时会依靠对概念或定义的清晰认识和深刻理解，挖掘隐含在材料中的隐蔽条件，最终达到对材料的综合理解[11]。因此，因子6可以命名为信息整合能力。

六年级的因子5在X4分测验上具有高负荷。该分测验主要考察空间想象，其心理意义比较明显，是指对现实生活中事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考以及构造创新的能力。因此，可以认为因子5是直观想象能力。

7、研究结论

研究对小学三年级和六年级学生数学阅读能力结构进行了因素分析及鉴别，结果表明，三年级和六年级学生数学阅读能力结构成分相同，小学生数学阅读能力结构由概念理解能力、语言互译能力、阅读迁移能力、阅读推理能力、空间想象能力、信息整合能力6种因素构成。

参考文献：

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杨红萍,杨捷.小学生数学阅读能力结构的因素分析[J].数学教育学报,2019,28(5):14-18,91.

基金项目:教育部人文社科规划基金项目——数学阅读能力:结构与发展研究(16YJA880056);山西省教育科学“十二五”规划项目——中小 学生数学阅读能力发展研究(GH-15015);山西师大“中学数学教学论”优质课程建设(2016YZKC-08);山西师大教学改革创新项目——交互式教 学模式在“中学数学教学论”中的实验研究(2017JGXM-32);山西师范大学现代文理学院基金项目——数学阅读影响因素的路径分析(2019JCYJ11)