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浅谈初等数学教学中数形结合法的应用

2019-12-27 382 上传者：管理员

摘要：在数学思想中，数形结合思想以其特有的简便性和直观性得到了人们的重视。在解题技巧上，数形结合法以它特有的优点能够帮助学生们更好的解决数学问题；数形结合法在一定程度上也能提升学生的逻辑思维能力和创新能力。文章首先对数形结合思想以及数形结合思想的重要性进行了阐述；为了更好的阐明教师在数学教学中如何运用数形结合法，并培养学生数形结合的思维，本文以小学数学教学和中学数学教学为研究背景，同时阐述了数形结合方法在初等数学教学中的具体应用，总结了在教学中需注意的问题，数形结合思想在中学解题教学中的一般途径、基本原则，以期达到初步认识在初等数学教学中如何“以数解形”，如何“以形助数”的目的。

关键词：
以形助数
以数解形
初等数学教学
应用
数形结合
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在初等数学的学习和教学过程中，有一种思想叫做数形结合思想，不言而喻，数形结合思想就是将所研究问题中的数与形恰当结合、相互转化，从而寻找到求解问题的最优化方法。数形结合思想是中学生在解题时经常要用到的一种思想方法，也是数学学科中众多思想的一个突出代表。我们借助数量与图形的关系，可以将问题变得更加直观容易理解。这样就可以通过将数据和图形相结合的办法，把复杂的问题简单化；使很难求解的问题变得更加清晰、容易；将未知的知识转化为已经学过的知识。数形结合法也是众多初等数学教育工作者致力于研究的一种常用数学方法。一方面，它可以使老师在讲课的过程中引领学生从逻辑思维的角度思考问题，从而培养学生的创新思维；另一方面，在解题的时候适当地采用数形结合法还可以来帮助学生解决难以处理的习题。所以在初等数学教学中，教师可以有意识的利用数形结合方法发展学生们的思维，促进形象思维和抽象思维的共同发展。

在小学数学的教学中，加减乘除无疑是最基本也是最重要的教学内容。对于这部分知识，学生在学习的过程中存在两个方面的困难：

第一，这部分知识要求把抽象的算理用直观具体的数学语言描述出来；

第二，小学生对此部分知识并没有一定的基础，学习起来具有一定的思维跳跃。

因此，教师可以利用学生对真实实物或图形的感知来进行教学，达到形象易懂的目的，同时培养学生的数学思维。小学生的心理发展并不完全，他们往往只能接受自己直观看到的事物，这使得在教学中引入概念是十分困难的。如果运用传统的讲授法，不仅学生理解起来十分困难，而且教师在教学时也会思路不清。所以我们应用数形结合法来进行教学，一方面，意在体现数形结合法的简便性和趣味性，使学生接受起来更容易；另一方面，提高课堂的效率，使教师的课堂更有活力。

在《孙子算经》中，最被广为流传的一个问题就是“鸡兔同笼”问题，在小学阶段也是趣味性极强的一种类型题。无论是二年级还是五年级，“鸡兔同笼”的问题都值得学生们思考。然而怎么才能够让二年级的小朋友们理解什么是“鸡兔同笼”呢？为此，就需要小朋友们动手画一画，通过画一画来直观的看出鸡兔到底有几个头几只脚，进而解决问题。当学生们刚刚看到这种问题的时候，一定无从下手，所以数形结合法就成了必不可少的一项工具。

例如一个笼子里有6个头，20只脚，问鸡有几只？兔有几只？

如图1，可以直观的看到有2只鸡，4只兔。大多数学生一开始接触这种题目都会感觉无从下手，但是运用数形结合法，就使问题简捷化了。图1

分析：低年级的小朋友往往是通过具体的事物或者图形来展开思维的，但是小学的应用题却需要明确的数字来解答，在这一过程中，就需要学生们提升自己抽象思维的理解能力，这也是在小学应用题中存在的教学难点，所以说数形结合思维的方式，将复杂的问题简单化，剥离出问题中的数量关系，用图形加以表示，就能够简单的解决这个问题了。

所以教师在这类问题教学时要培养学生形成对数形结合思想的主动应用意识，应用图形代替动物头和脚的这一过程就是数形结合的过程，这样一来，就使得复杂的问题简单化了，也可以使学生直观的观察出问题的解决过程，在调动学生积极性的同时培养学生的数学思维，一举两得。

经过小学阶段的学习，中学生对数形结合法已经有了一定程度的基础和自己的理解，他们可以根据自己的经验来处理一些简单的问题。同时，中学生的心理相比小学生更成熟了一些，在教学方面可以采取传授教学和探究教学相结合这种新的教学方式，引导学生探究数形结合法在解题中的必要性。本部分将通过对函数、三角、复数、圆锥曲线四类典型问题的分别描述，展开分析数形结合方法在中学数学教学中的运用。

比如，函数的大小问题多出现于选择题和填空题，所以在求解时不需要写出繁琐的解题步骤，我们可以直接通过画图像，并根据图像性质来进行比较。在此过程中，不仅需要掌握函数的性质和特征，还需要掌握函数图像的性质和特征，对综合能力的考察是比较大的。图2

分析：在此类题中，题目中的函数是不同类别的，无法直接比较大小，看到题干学生第一反应是无从下手，没有思路的，所以教师在此题的教学中要引导学生理清解题思路。先在同一坐标系下画出函数的图像，这要求学生熟知几个特殊函数的性质，准确画出图像，再根据题目要求的定义域观察图像，从而得出结论。函数以其特有的图像直观的体现出了函数的变化和函数的性质。其实在解答函数问题的时候，函数图像无疑是最好的解题方法之一。通过图像的位置顺利的判断函数的大小，充分体现了数形结合思想的优越性，教师在教学中将数量关系与几何图像紧密结合起来，帮助学生寻找更简便的解题方法，使学生不仅巩固了函数的性质，还锻炼了学生的画图能力。

在数学教学的课堂上，教师在此类题的教学中应该充分发挥数形结合法的优越性，帮助学生提高学习或理解题的效率，从根本上帮助学生养成这种解题思维和解题习惯。

三角函数交点个数的问题是一类基础性问题，是数形结合思想解题具有代表性的一类问题，三角函数图像是三角函数中最基础的知识，我们应用“数”来表明三角函数的本质，用“形”来精确的表明三角函数的数量关系，这就是数形结合法的特殊性，也是数学结合法的优越性。图3

分析：这道题检验的是学生化简三角函数以及判断函数中零点个数的能力，同时检验学生能否将数形结合和转化思想合理应用。如果不通过图像去求解原方程的话，sin2x属于三角函数，|ln（x+1）|属于复合函数，二者属于不同类别的函数，在这个阶段学生并不能通过计算求解，只能依靠计算机编程来进行解决此问题，这样不仅是一项计算量很大的工作，而且中学生并没有掌握繁琐的编程知识。所以通过对原方程变形，引导学生绘出图像，再探究图像与图像的交点就是方程的根，这种数形结合的方法一方面通过将原函数变形锻炼学生的计算能力；另一方面，题干中函数是通过整合得来的，要画的图像不止一个，这样从一定程度上锻炼了学生的画图能力，可以更好地帮助教师活跃课堂气氛。同时，教师在这部分教学过程中要关注学生的熟练程度，逐步锻炼学生的反应能力，加快解题速度，增强学生学习数学的自信心。

现实情况中数量关系和空间形式是初等数学所探究的重要方向。通过数形结合的方法，在高效解题的同时也能够帮助学生们理解问题的本质，从而提升学生们理解问题的能力，也提高了学生们解决问题的能力。由此可见，在初等数学教学中，数形结合法被广泛应用。我们不难发现，数形结合无疑是学生解决问题的主要方法之一，同理，当教师在教学过程中出现繁琐的问题时，也可以通过数形结合的方法展开教学，从而得到教学的最优效果。加深学生对数形结合的利用，无论是在夯实基础还是提升理解能力方面，都起着至关重要的作用。让学生在积累解题经验的同时也提高解题能力，从而进一步提高学生的学习兴趣，也培养了学生活跃的思维和创新的思想，同时也使教育的功能和目标得到更好地落实。

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