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试述函数的傅里叶-贝塞尔积分及其展开系数公式

2020-05-16 1351 上传者：管理员

摘要：柱坐标系中,本征函数族贝塞尔函数构成完备正交系,因此可作为广义傅里叶级数展开的基.本文从定义在有限区间[0,ρ0]上函数的广义傅里叶级数展开出发,利用贝塞尔函数的渐近展开公式以及贝塞尔函数零点的近似公式,讨论了半无界空间上函数的傅里叶-贝塞尔积分展开问题,得到了本征函数模方的近似表达式.当ρ0趋于无穷时,不连续参量变成连续参量,得到了函数的傅里叶-贝塞尔积分及其展开系数公式.

关键词：
傅里叶-贝塞尔积分
函数
应用数学
贝塞尔函数
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柱坐标系中,当给定柱侧齐次边界条件则关于圆柱半径ρ的贝塞尔方程与边界条件构成本征值问题.此时本征函数为贝塞尔函数,其中μmn为本征值由边界条件确定,本征函数族构成完备正交系.由Sturm-Liouville本征值问题的性质可知,对任一定义在有界区间[0,ρ0]上的分段光滑函数f(ρ)可按本征函数展为广义傅里叶级数,这一结果可在任一本标准的数学物理方法教材上找到[1,2,3,4].由于f(ρ)是定义在有界区间上的函数,但对于半无界空间情况即ρ0→∞,f(ρ)是否还可展为广义傅里叶级数这个问题一般的教材并未提及.在梁昆淼先生的《数学物理方法》中有提及[5],但只是给出了结果。结果表明当ρ0→∞时傅里叶-贝塞尔级数展开变为傅里叶-贝塞尔积分.傅里叶-贝塞尔积分展开的严格数学证明早已存在但过于复杂并不适合课堂上介绍,是否存在一种简单的近似计算给出这一结果是本文将解决的问题.本文将针对定义在半无界空间上的分段光滑函数,利用贝塞尔函数的渐近展开公式和贝塞尔函数零点的近似公式给出傅里叶-贝塞尔积分展开及其系数公式.

由贝塞尔函数的性质可知,定义在有界区间[0,ρ0]上的分段光滑函数f(ρ)可展为广义傅里叶级数：

至此,我们已给出傅里叶-贝塞尔积分及其系数的完整表达式,称方程(17)为函数f(ρ)当ρ0→∞时的傅里叶-贝塞尔积分.傅里叶-贝塞尔积分成立的条件为f(ρ)是定义在(0,∞)上的逐段光滑函数,在(0,∞)上绝对可积,则f(ρ)可展为傅里叶-贝塞尔积分[2].

本文针对定义在半无界空间上的函数研究了其广义傅里叶展开问题.首先将定义在有限区间[0,ρ0]上的分段光滑函数以贝塞尔函数为基底作广义傅里叶级数展开.利用贝塞尔函数的渐近展开与零点的近似公式,得到了本征函数模方的近似表达式.当ρ0趋于无穷时,不连续参量变成连续参量,则此时无穷级数过渡为积分.需要指出的是本文利用简单的近似计算给出了半无界空间上函数的傅里叶-贝塞尔积分展开及其系数表达式,但仅是一种近似计算并不是严格数学证明.当展开基底是与第一、二类齐次边界条件对应的贝塞尔函数时,本征值由贝塞尔函数或其导数的零点确定,由于本文用到了贝塞尔函数的零点的近似公式,因此本文的近似计算方法仅在第一、二类齐次边界条件下适用.当展开基底是与第三类齐次边界条件对应的贝塞尔函数时,本征值并不是由贝塞尔函数的零点确定而是由满足边界条件的方程的零点确定,则此时本文的近似计算不再适用.

参考文献：

[1]吴崇试.数学物理方法[M].北京:北京大学出版社,2003.

[2]严镇军.数学物理方法[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2006.

[3]汪德新.数学物理方法[M].北京:科学出版社,2006.

[4]邵惠民.数学物理方法[M].北京:科学出版社,2010.

[5]梁昆淼.数学物理方法[M].北京:高等教育出版社,2009.

姜向前,侯春风,孟庆鑫,张宇.半无界空间上函数的傅里叶-贝塞尔积分展开[J].大学物理,2020,39(05):14-15+26.

基金:高等学校数学物理方法课程教学研究项目资助.