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带有饱和治疗函数的SIS模型的几类分支分析

2024-06-21 12 上传者：管理员

摘要：研究了具有标准发生率和饱和治疗函数的SIS传染病模型的几类分支.该模型中使用的饱和治疗函数是一个连续且可微的函数，用以说明当治愈率较低以及感染人数较多时延迟治疗所产生的影响.讨论了系统无病平衡点和地方病平衡点的存在性，证明了该系统存在倒向分支，分析了系统平衡点的局部和全局稳定性，讨论了该系统Hopf分支和Bogdanov-Takens分支的存在情况，得出了相应结论并且给出了系统的分支相图，以及针对研究得出的数学结果提出了一些合理化建议.

关键词：
SIS模型
传染病模型
分支
稳定性
饱和治疗
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为了有效遏制疾病的蔓延，数学家们建立了各种能够演示传染病动力学行为的模型来分析疾病的发展过程.SIS模型和SIR模型就是2类经典的传染病模型.SIS模型主要将人群划分为2类，分别为易感人群S和患病人群I.假设总人数为N,不考虑人口的出生死亡和迁入迁出，那么N=S+I为一个常数.假设感染者以概率λ传染易感者，感染者以概率r恢复为易感状态，易感者一旦被感染，又变成新的传染源，那么SIS模型的动力学行为可由如下方程组表示：

经过数学家们的多年研究发现，对传染病模型动力学行为有主要影响作用的是治疗函数[1]和发生率[2,3,4].治疗是控制和消除疾病的一种非常重要的方法，文献[5]采取了一个常值治疗函数，文献[6]将此治疗函数修改成以下形式：

这里m=kI0,k表示治愈率.这意味着当治疗能力未达到极限值时，治疗能力与感染人数成正比；当治疗能力达到极限值时，治疗能力极限值将被用作治疗函数.

近年来，饱和治疗函数在很多传染病模型中都被广泛应用.文献[7]采用了如下连续可微的饱和治疗函数：T(I)=βI/(1+αI),其中β>0,α≥0,β代表的是治愈率，α表示延迟治疗所产生的影响.根据T(I)的表达式可得：当I很小时，T(I)和感染者的数量成正比，即T(I)～βI;当I非常大时，治疗函数T(I)趋于一个常数，即T(I)～β/α.采用了上述治疗函数后，可知若延迟治疗程度较弱，那么R0=1可以作为疾病是否根除的阈值；若延迟治疗的程度较强，那么将会产生倒向分支.

本文将进一步研究如下具有标准发生率和饱和治疗函数的SIS模型：

其中：S表示t时刻易感者的数量；I表示t时刻感染者的数量；B表示人口补充率；N=S+I为人口总数量；d为自然死亡率；r为自然恢复率；

表示饱和治疗函数；β为正，α非负.

1、平衡点的存在性

对微分方程组(1)整理得到总人口的微分方程为

那么当t→∞时，则N→B/d,假设人口的总数量已经达到它的极限值，即N=B/d=S+I,那么系统就可以化为如下形式：

当I=0时，解出系统(2)只有一个无病平衡点E0(B/d,0),而且容易得到系统(2)的基本再生数为R0=λ/(d+β+r).为了得到地方病平衡点，求解方程组：

因为I≠0,通过方程(3)的第二个等式整理出

将其代入方程(3)的第一个等式，整理可得

aI2+bI+c=0. (4)

其中：

a=λdα,b=dλ-Bα(λ-d-r),c=B(β+d+r-λ)=B(β+d+r)(1-R0).

则方程可能有正解

显然，若R0>1则c<0;若R0=1则c=0;若R0<1则c>0.根据方程(4),有如下结果：

定理1.1 有如下结果成立：

(1) 假设α=0,则方程(4)有唯一解I=-c/b.若R0>1,则系统(2)有唯一的地方病平衡点；若R0≤1,则系统(2)不存在地方病平衡点.

(2) 假设α>0.若b≤0,R0>1,则系统(2)有唯一的地方病平衡点；若R0≤1,则系统(2)不存在地方病平衡点.

(3) 假设α>0.若b<0,R0≥1,则系统(2)有唯一的地方病平衡点；若R0<R*0,则系统(2)不存在地方病平衡点；若R*0≤R0<1,则系统(2)有2个地方病平衡点E1和E2.当R0=R*0,E1=E2时，有

图1 感染人数I关于R0的函数图像

λ=0.3,α=1,d=0.1,r=0.1,B=1,β=0.1

定理1.2 若α>0,b<0,则系统(2)在R0=1处产生倒向分支，如图1所示.

证明假设I是关于R0的一个函数，考虑β作为一个变量，其余参数看作常数.对等式(4)关于β进行微分运算，得到

因此可知当β增加时，R0是随之逐渐减小的.这表明当2aI+b>0时，在平衡点处分支曲线的斜率为正；当2aI+b<0时，在平衡点处分支曲线的斜率为负.假设在R0=1处没有发生倒向分支，那么唯一的地方病平衡点满足

并且若I>0,分支曲线在所有点处的斜率都是正的.若在R0=1处存在倒向分支，那么必定存在一个有2个地方病平衡点的区间，由下式给出：

分支曲线在较小平衡点处的斜率为负，在较大平衡点处的斜率为正.由此，图1的分支曲线被验证完毕.

由定理1.2可知，若倒向分支发生，在拐点处就存在一个临界点R*0.在这种情形下，即使R0<1,疾病也不会完全消亡，只有当R0<R*0时，疾病才能完全消除.因此R*0可以作为控制疾病的一个新的阈值.

2、平衡点的稳定性

系统(2)在E0点处的线性化系统的Jacobian矩阵为

可知，当且仅当λ-d-r-β<0,即R0<1时，M(E0)的特征根具有负实部.那么可以得到如下定理：

定理2.1 当R0<1时，E0是局部渐近稳定的，如图2所示；当R0>1时，E0是不稳定的，如图3所示.

图2 当R0<1时，无病平衡点是局部渐近稳定的

图3 当R0>1时，无病平衡点是不稳定

由定理1.1可知当R0>1时，系统(2)存在唯一的地方病平衡点.通过证明易得如下定理：

定理2.2 当R0>1且

时，唯一的地方病平衡点E*是局部渐近稳定的.

当2个地方病平衡点同时存在时，分别讨论E1和E2的稳定性.设Mi为Ei处的Jacobian矩阵，定理2.3 若Bα(λ-d-r)>0,则系统(2)的地方病平衡点E1是一个鞍点.

证明由

由E1的存在性，可知b<0且R0<1,那么能够得dλ<Bα(λ-d-r),又因为λ<α+β+r,整理得到dλ<Bα(λ-d-r)<Bαβ,所以有

因此Ψ(I1)是关于I1的单调递增函数，那么存在唯一的I*>0,有：当I1=I*时，Ψ(I1)=0;当0<I1<I*时，Ψ(I1)<0;当I1>I*时，Ψ(I1)>0.其中：

故可以通过判断Δ-P2的符号正负来比较I1和I*的大小关系.

因为R*0<R0,所以b2>4ac,即[dλ-Bα(λ-d-r)]2>4λdαB(β+d+r-λ),因此

[dλ+Bα(λ-d-r)]2=[dλ-Bα(λ-d-r)]2+4λdαB(λ-d-r)>

4λdαB(β+d+r-λ)+4λdαB(λ-d-r)=4λdαBβ,

两边开根号整理得

所以Δ-P2>0.

综上可得，I1<I*,继而可以得到det(M1)<0,所以E1为鞍点.证毕.

为了探究地方病平衡点E2的稳定性，定义

其中D,E,F和H在以下定理中定义.

定理2.4 当η>0时，地方病平衡点E2是局部渐近稳定的.

证明考虑

并且由定理2.3可知I2>I*,所以det(M2)>0.又因为E2的迹为

其中：D=λdα2,E=2αλd+Bdα2,F=2Bdα+λd-Bαβ,H=Bd.那么有

sgn(tr(M2))=-sgn(G(I2)),G(x)=Dx3+Ex2+Fx+H.

应用m1=a2F+b2D-acD-abE和m2=a2H-acE+bcD的表达式，有

所以当η>0时，E2是局部渐近稳定的.证毕.

由以上的结论可得，当2个地方病平衡点同时存在时，鞍点E1的流形会把第一象限分成两个区域，在某个区域的疾病将会持续下去，在另一个区域的疾病将会被消除，如图4所示，因此为了控制疾病的蔓延，政府应该及时采取有效的措施来控制初始感染者的数量.

接下来由Poincare-Bendixons定理的推论[8]可以得到如下结论.

定理2.5 若R0<R*0,则无病平衡点E0(B/d,0)是全局渐近稳定的.

由定理2.5可知当R0足够小的时候，疾病将会被完全消除，所以也可以通过减小发生率λ和增大治愈率β来使基本再生数变得足够小，从而完全消除疾病.

下面通过构造Dulac函数D=1/I,可以得到定理2.6.

定理2.6 当R0>1且0≤α<dλ/(Bβ)时，系统没有极限环.

由此可知，若R0>1且0≤α<dλ/(Bβ),那么唯一的地方病平衡点E*是全局渐近稳定的，如图5所示.

图4 在E1上方区域的疾病将会流行，下方区域的疾病将会消失

图5 地方病平衡点E*是全局渐近稳定的

3、 Hopf分支

由上面的讨论可知E0和E1是没有闭环围绕的，E1是一个鞍点，因此Hopf分支只可能发生在平衡点E2处.

由定理2.4的证明可知，当且仅当η=0时，det(M2)=0,并且若E2存在，则有det(M2)>0.所以当且仅当η=0时，M2的特征值是一对纯虚根.直接计算可得

由文献[9]中的定理3.4.2可知，η=0是系统的Hopf分支点.现在考虑系统(2)的等价系统：

令S=x+S2,I=y+I2,那么上面方程变为

令E*表示平面的原点，因为E2=(S2,I2)满足等式(3),所以有

det(M(E*))=a11a22-a12a21=I2×Ψ(I2),

由定理2.4的证明可知，Ψ(I2)始终是正的.容易验证，当且仅当η=0时，a11+a22=0,那么设第一李雅普诺夫系数为

其中：fuv表示(∂2f/∂u∂v)(0,0),guv表示(∂2g/∂u∂v)(0,0).则有

综合以上分析后得出：

定理3.1 若η=0,则系统(2)在地方病平衡点E2处发生Hopf分支.进一步，若σ≠0,则由地方病平衡点E2分支出来的一族周期轨满足：

(1) 当σ<0时，将有一个超临界的Hopf分支发生；

(2) 当σ>0时，将有一个亚临界的Hopf分支发生.

4 、Bogdanov-Takens分支

分析系统(2)是否能够产生Bogdanov-Takens分支[8].假设：

(S1) b<0且b2-4ac=0.则系统(2)有唯一地方病平衡点E*=(S*,I*),其中：

那么系统(2)在E*处的Jacobian矩阵为

由上述Jacobian矩阵可得

所以det(M*)=0,又由(S2)得到tr(M*)=0.

由(S1)和(S2)说明在E*=(S*,I*)处的Jacobian矩阵有一个为零的二重特征根，所以系统(2)可能存在Bogdanov-Takens分支.

定理4.1 假设(S1)和(S2)成立且满足2b1+b4≠=0和b3≠0,那么系统(2)在E*=(S*,I*)附近产生Bogdanov-Takens分支.

先找出系统(2)的开折，然后给出鞍结点分支、Hopf分支和同宿分支曲线的近似表达式.选取B和d为系统的分支参数，固定λ=λ0,r=r0,β=β0,α=α0,令B=B0+θ1,d=d0+θ2,其中θ1和θ2是在原点小邻域内来回变化的参数.设B=B0,d=d0,λ=λ0,r=r0,β=β0,N=N0和α=α0满足(S1)和(S2),那么将有以下2维系统：

通过变换x=I-I*和y=S-S*,系统(9)变为

其中：θ=(θ1,θ2),w1(x,y,θ)是关于变量x,y,θ1,θ2的至少三阶的光滑函数，

再将X,Y重新记为x和y,则有

其中：θ=(θ1,θ2);w6(x,y,θ)是关于变量x,y,θ2,θ2的至少三阶的光滑函数.

在上面系统中，令α0=1,β0=1/4,r0=1/2,λ0=11/10,d0=51/100,B0=561/10,并且这些参数满足(S1)和(S2)的条件，则得到下面的方程：

因此，τ1和τ2是(θ1,θ2)=(0,0)小邻域内的正则映射.根据Bogdanov-Takens分支理论，得到下面结论：

定理4.2 假设α0,β0,r0,λ0,d0,B0满足(S1)和(S2),g11≠0且g12≠0,那么系统(2)产生如下的分支曲线：

(1) 鞍节点分支曲线

(2) Hopf分支曲线

(3) 同宿分支曲线

图6 系统(2)的分支集和相应的相图下载原图

由此可得系统的分支集和相应的相图，(θ1,θ2)-平面在原点附近被这些分叉曲线分成4个区域，如图6所示.

5、结论

在以往的传染病模型中，决定传染病能否被完全消除的阈值是基本再生数R0.一般来说，当R0<1时，疾病自行逐渐消亡.但是对于系统(2),虽然基本再生数小于1,但疾病也不会被根除.在定理2.2的条件下，发现若发生倒向分支，在拐点处会出现一个临界点R*0.在这种情形下，当R0<R*0时，疾病才能被完全消除.因此，R*0可以作为一个新的阈值.

定理1.2证明了如果延迟治疗影响较强将发生倒向分支，所以应该对病人采取相应的治疗措施来控制疾病传播.从理论分析的结果来看，当系统有2个地方病平衡点时，鞍点E1的稳定流形分割第一象限，在分割出来的某一区域的疾病将会一直存在，另一区域的疾病将会消亡.也就是当初始感染者的数量落在某一区域内，疾病将会持续；当初始感染者的数量落在另一区域内，疾病将会被完全消除.因此，为了控制疾病的蔓延，政府应该及时采取有效的措施来控制初始感染者的数量.另外，由定理2.5可以看到，当R0足够小时，疾病将会被完全消除，所以可以通过减小发生率λ和增大治愈率β来使基本再生数变得足够小，从而完全消除疾病.

综上，为了更好地控制疾病的传播，有关部门可以对人员进行筛查，确定初始感染者的数量，然后对这些感染者进行隔离治疗；政府可以呼吁人们加强自我防护以及体育锻炼，减小感染的风险；医疗团队可以储备更多的医疗资源，以防因治疗条件有限而导致的治疗率下降；专家们可以在疾病发生的早期尽快研制对应的药物以及疫苗；国家可以研究发明更先进的医疗设备来进一步提高我国的医疗水平.

基金资助:国家自然科学基金资助项目(11971096); 吉林省自然科学基金资助项目(YDZJ202101ZYTS154);

文章来源:张加男,张伟鹏.带有饱和治疗函数的SIS模型的几类分支分析[J].东北师大学报(自然科学版),2024,56(02):17-26.